Альтернирующий метод Шварца

В математике альтерни́рующий ме́тод Шва́рца или альтерни́рующий проце́сс — итеративный метод, предложенный в 1869—1870 годах Германом Шварцем в теории конформных отображений. Для двух пересекающихся областей на комплексной плоскости, для каждой из которых решаема задача Дирихле, Шварц описал итеративный метод для решения задачи Дирихле в их объединении при условии надлежащего пересечения. Это была одна из конструктивных техник конформного отображения, разработанных Шварцем как вклад в задачу униформизации, сформулированную Риманом в 1850-х и впервые строго решённую Кёбе и Пуанкаре в 1907. Он представил схему того, как униформизировать объединение двух областей, если известно, как униформизировать каждую из них по отдельности, при условии, что их пересечение топологически было диском или кольцом. С 1870-го Карл Нейман также внёс вклад в эту теорию.

В 1950-х годах метод Шварца был обобщён в теории уравнений в частных производных до итерационного метода поиска решения краевой задачи эллиптического типа в области, являющейся объединением двух пересекающихся областей. Он включает решение краевой задачи на каждой из двух подобластей по очереди, всегда принимая последние значения приближённого решения в качестве следующих граничных условий. Это используется в численном анализе под названием мультипликати́вный ме́тод Шва́рца (в противовес аддитивному методу Шварца) как метод декомпозиции областей.

История

Впервые метод был сформулирован Шварцем^[1] и служил теоретическим инструментом: его сходимость для эллиптических уравнений в частных производных второго порядка была впервые доказана Соломоном Григорьевичем Михлиным намного позже, в 1951^[2].

Алгоритм

Оригинальной задачей, рассмотренной Шварцем, была задача Дирихле (с уравнением Лапласа) на области, содержащей круг и частично наложенный квадрат. Чтобы решить задачу Дирихле на одной из двух подобластей (квадрате или круге), решение должно быть известно на границе: поскольку часть границы содержится в другой подобласти, задача Дирихле должна решаться на двух подобластях в совокупности. Введём итеративный алгоритм:

Сделаем первое предположение о решении на той части границы круга, которая находится внутри квадрата;
Решаем задачу Дирихле на круге;
Используем решение из (2), чтобы аппроксимировать решение на границе квадрата;
Решаем задачу Дирихле на квадрате;
Используем решение из (4), чтобы аппроксимировать решение на границе круга, потом переходим к шагу (2).

При сходимости решение на пересечении будет таким же, как на круге или квадрате.

Оптимизированные методы Шварца

Скорость сходимости зависит от размера пересечения подобластей и от условий трансмиссии (граничные условия, использованные на переходе между подобластями). Возможно увеличить скорость сходимости методов Шварца через подбор условий трансмиссии: такие методы называются оптимизированными методами Шварца^[3].

См. также

Примечания

↑ (Schwarz 1870b)
↑ (Михлин 1951): полный обзор был дан тем же автором в более поздних работах.
↑ Gander, Martin J.; Halpern, Laurence; Nataf, Frédéric (2001), Optimized Schwarz Methods, 12th International Conference on Domain Decomposition Methods (PDF Архивная копия от 21 октября 2021 на Wayback Machine)

Литература

Оригинальные статьи

Schwarz, H.A. (1869), Über einige Abbildungsaufgaben, J. Reine Angew. Math., 1869 (70): 105–120, doi:10.1515/crll.1869.70.105, S2CID 121291546
Schwarz, H.A. (1870a), Über die Integration der partiellen Differentialgleichung ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitbedingungen, Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin: 767–795 {{citation}}: templatestyles stripmarker в |title= на позиции 59 (справка)
Schwarz, H. A. (1870b), Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren, Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, 15: 272–286, JFM 02.0214.02
Neumann, Carl (1870), Zur Theorie des Potentiales, Math. Ann., 2 (3): 514, doi:10.1007/bf01448242, S2CID 122015888
Neumann, Carl (1877), Untersuchungen über das logarithmische und Newton'sche Potential, Teubner
Neumann, Carl (1884), Vorlesungen über Riemann's Theorie der abelschen Integrale (2nd ed.), Teubner

Конформные отображения и гармонические функции

Nevanlinna, Rolf (1939), Über das alternierende Verfahren von Schwarz, J. Reine Angew. Math., 1939 (180): 121–128, doi:10.1515/crll.1939.180.121, S2CID 199546268
Nevanlinna, Rolf (1939), Bemerkungen zum alternierenden Verfahren, Monatshefte für Mathematik und Physik, 48: 500–508, doi:10.1007/bf01696203, S2CID 123260734
Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, vol. 64, Springer
Sario, Leo (1953), Alternating method on arbitrary Riemann surfaces, Pacific J. Math., 3 (3): 631–645, doi:10.2140/pjm.1953.3.631
Morgenstern, Dietrich (1956), Begründung des alternierenden Verfahrens durch Orthogonalprojektion, Z. Angew. Math. Mech., 36 (7–8): 255–256, Bibcode:1956ZaMM...36..255M, doi:10.1002/zamm.19560360711, hdl:10338.dmlcz/100409
Cohn, Harvey (1980), Conformal mapping on Riemann surfaces, Dover, pp. 242–262, ISBN 0-486-64025-6, Chapter 12, Alternating Procedures
Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005), Harmonic Measure, Cambridge University Press, ISBN 1139443097
Freitag, Eberhard (2011), Complex analysis. 2. Riemann surfaces, several complex variables, abelian functions, higher modular functions, Springer, ISBN 978-3-642-20553-8
de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformization of Riemann Surfaces: revisiting a hundred-year-old theorem, Heritage of European Mathematics, vol. 11, translated by Robert G. Burns, European Mathematical Society, doi:10.4171/145, ISBN 978-3-03719-145-3, перевод французского текста
Chorlay, Renaud (2007), L'émergence du couple local-global dans les théories géométriques, de Bernhard Riemann à la théorie des faisceaux (PDF), pp. 123–134 (cited in de Saint-Gervais)
Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013), Hidden Harmony—Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-1461457251

Уравнения в частных производных и численные методы

Михлин, С. Г. (1951), Об алгоритме Шварца, Доклады Академии наук, 77: 569–571, MR 0041329, Zbl 0054.04204

Ссылки

Solomentsev, E.D. (2001), Schwarz alternating method, in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[Schwarz-1870-UGA-1] (Schwarz 1870b)

[2] (Михлин 1951): полный обзор был дан тем же автором в более поздних работах.

[3] Gander, Martin J.; Halpern, Laurence; Nataf, Frédéric (2001), Optimized Schwarz Methods, 12th International Conference on Domain Decomposition Methods (PDF Архивная копия от 21 октября 2021 на Wayback Machine)

[1]

[2]

[3]