Асимптотическая формула Вейля

Асимптотическая формула Вейля связывает объём риманова многообразия с асимптотическим поведением собственных значений его лапласиана.

История

Соотношение было получено Германом Вейлем в 1911 году. Изначально оно формулировалось только для областей евклидова пространства. В 1912 году он представил новое доказательство на основе вариационных методов.^[1]

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — ${\displaystyle d}$-мерное риманово многообразие. Обозначим через ${\displaystyle N(\lambda )}$ число собственных значений (с учётом кратности), не превосходящих ${\displaystyle \lambda }$, для задачи Дирихле на ${\displaystyle \Omega }$. Тогда

${\displaystyle N(\lambda )={\frac {\omega _{d}}{(2\pi )^{d}}}\cdot \operatorname {vol} \Omega \cdot \lambda ^{d/2}+o(\lambda ^{d/2})}$,

где ${\displaystyle \omega _{d}}$ обозначает объем единичного шара в ${\displaystyle d}$-мерном евклидовом пространстве.^[2]

Уточнения

Оценка на остаточный член была многократно улучшена.

• В 1922 г. Рихард Курант улучшил её до ${\displaystyle O(\lambda ^{(d-1)/2}\log \lambda )}$.
• В 1952 году Борис Левитан доказал более жесткое ограничение ${\displaystyle O(\lambda ^{(d-1)/2})}$ для замкнутых многообразий.
• Роберт Сили^[англ.] обобщил эту оценку, в частности, включил определенные евклидовы области, в 1978 году.^[3]

Предположительно, следующий член в асимптотике при ${\displaystyle \lambda ^{(d-1)/2}}$ пропорционален площади границы ${\displaystyle \Omega }$. С учётом этого члена, оценка на остаточный член должна быть ${\displaystyle o(\lambda ^{(d-1)/2})}$. В частности, при условии отсутствия границы оценка на остаточный член в формуле выше должна быть ${\displaystyle o(\lambda ^{(d-1)/2})}$.

• В 1975 году Ганс Дейстермаат^[англ.] и Виктор Гийемин^[англ.] доказали оценку ${\displaystyle o(\lambda ^{(d-1)/2})}$ при некоторых дополнительных условиях общего положения.^[4]
  • Последнее было обобщенно Виктором Иврием в 1980 году.^[5] Это обобщение предполагает, что множество периодических траекторий бильярда в ${\displaystyle \Omega }$ имеет меру 0. Последнее, возможно, выполняется для всех ограниченных евклидовых областей с гладкими границами.

Примечания

1. H. Weyl. Das asymptotische Verteilungsgesetz linearen partiellen Differentialgleichungen (нем.) // Math. Ann. : magazin. — 1912. — Bd. 71. — S. 441—479.
2. Weyl, Hermann. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte (неопр.) // Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. — 1911. — С. 110—117.
3. R. Seeley. A sharp asymptotic estimate for the eigenvalues of the Laplacian in a domain of ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ // Adv. Math.. — 1978. — Vol. 29, no. 2. — P. 244—269. — doi:10.1016/0001-8708(78)90013-0.
4. J. J. Duistermaat, V. W. Guillemin. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics // Inventiones mathematicae. — 1975. — Vol. 29, no. 1. — P. 39—79. — doi:10.1007/BF01405172.
5. В. Я. Иврий. О втором члене спектральной асимптотики для оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях с краем // Функц. анализ и его прил.. — 1980. — Т. 14, № 2. — С. 25—34.