Большой икосододекаэдр

Большой икосододекаэдр
Тип	Однородный звёздчатый многогранник
Комбинаторика
Элементы	32 грани 60 рёбер 30 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 12 пятиугольников
Конфигурация вершины	3.5/2.3.5/2
Двойственный многогранник	Большой ромбический тридцатигранник
Вершинная фигура
Классификация
Обозначения	U54, C70, W94
Символ Шлефли	r{3,5/2}
Символ Витхоффа^[англ.]	2 | 3 5/2 2 | 3 5/3 2 | 3/2 5/2 2 | 3/2 5/3
Диаграмма Дынкина
Группа симметрии	Ih, [5,3],*532

3D модель большого икосододекаэдра

Большой икосододекаэдр — однородный звёздчатый многогранник, имеющий номер однородного многогранника (Uniform polyhedron index) U₅₄. Многогранник имеет 32 грани (20 треугольников и 12 пятиугольников), 60 рёбер и 30 вершин^[1]. Он имеет символ Шлефли r{3,5⁄2}. Многогранник является полным усечением большого звёздчатого додекаэдра и большого икосаэдра. Многогранник независимо обнаружили Хесс в 1878 году^[2], Бэдуру в 1881^[3] и Пич в 1882^[4].

Связанные многогранники

Многогранник назван по аналогии с кубооктаэдром и по аналогии, как из додекаэдра-икосаэдра получили (малый) икосододекаэдр.

Он имеет то же расположение вершин^[англ.], что и икосододекаэдр, который служит его выпуклой оболочкой. В отличие от большого икосаэдра и большого додекаэдра, большой икосододекаэдр не является звёздчатой формой икосододекаэдра.

Многогранник имеет то же расположение рёбер^[англ.], что и большой икосогемидодекаэдр^[англ.] (имея общие треугольные грани), и большим додекогемидодекаэдром^[англ.] (имея общие пентаграммные грани).

Большой икосододекаэдр

Большой додекагемидодекаэдр^[англ.]

Большой икосогемидодекаэдр^[англ.]|-

Икосододекаэдр (выпуклая оболочка)

Анимация усечения с {5⁄2, 3} до {3, 5⁄2}

Этот многогранник можно считать полным усечением большого икосаэдра:

Усечённый большой звёздчатый додекаэдр является вырожденным многогранником с 20 треугольными гранями из усеченных вершин и 12 (скрытыми) пятиугольными гранями, являющимися усечениями исходных пятиугольных граней, формиурующие большой додекаэдр, вписанный в многогранник и имеющий те же рёбра, что и икосаэдр.

Название	Большой звёздчатый додекаэдр	Усечённый большой звёздчатый додекаэдр	Большой икосододекаэдр	Усечённый большой икосаэдр^[англ.]	Большой икосаэдр
Диаграмма Коксетера
Рисунок

Большой ромбический тридцатигранник

Большой ромбический тридцатигранник
Тип	Звёздчатый многогранник
Комбинаторика
Элементы	30 граней 60 рёбер 32 вершины Χ = 2
Грани
Двойственный многогранник	Большой икосододекаэдр
Вершинная фигура -
Классификация
Обозначения	DU54
Символ Шлефли	r{3,5/2}
Группа симметрии	Ih,[5,3],*532

3D модель большого ромбического тридцатигранника

Двойственным многогранником большого икосододекаэдра является большой ромбический тридцатигранник. Это невыпуклое изоэдральное и изотоксальное тело, имеющее 30 пересекающихся ромбических граней. Многогранник можно также назвать большим звёздчатым тридцатигранником.

Большой ромбический тридцатигранник можно построить, увеличивая размер граней ромботриаконтаэдра на множитель ${\displaystyle \tau ^{3}=1+2\tau =2+{\sqrt {5}}}$, где ${\displaystyle \tau }$ является золотым сечением.

См. также

• Однородный многогранник
• Ромбический шестидесятиграник^[англ.]

Примечания

1. Maeder, Roman. 54: great icosidodecahedron  (неопр.). MathConsult. Архивировано 31 августа 2016 года.
2. Hess, 1878.
3. Badoureau, 1881.
4. Pitsch, 1882.

Литература

• Badoureau (1881), "Mémoire sur les figures isosceles", Journal de l'École Polytechnique, 49: 47–172
• Hess, Edmund (1878), Vier archimedeische Polyeder höherer Art, Cassel. Th. Kay, JFM 10.0346.03
• Pitsch (1882), "Über halbreguläre Sternpolyeder", Zeitschrift für das Realschulwesen, 7, JFM 14.0448.01
• Magnus Wenninger (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Great icosidodecahedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Great rhombic triacontahedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Uniform polyhedra and duals