Броуновский мост

Броуновское движение, закреплённое в обоих концах, — броуновский мост.

Броуновский мост — это частный случай случайного блуждания с непрерывным временем (винеровского процесса) ${\displaystyle B(t)}$, когда начальная и конечная точки совпадают: ${\displaystyle B(0)=B(1)=0}$. Стандартный винеровский процесс "привязан" в начальной точке ${\displaystyle W(0)=0}$, но имеет свободный конец. Броуновский мост зафиксирован и в начале ${\displaystyle B(0)=0}$, и в конце ${\displaystyle B(1)=0}$.

Свойства

Броуновский мост имеет среднее ${\displaystyle {E}\left[B_{t}\right]=0}$ и дисперсию ${\displaystyle \mathrm {D} \left[B_{t}\right]=t(1-t)}$, что подразумевает наибольшую неопределенность в середине моста и полную определенность на концах. Ковариация ${\displaystyle {Cov}\left[B_{s},B_{t}\right]=s(1-t)}$, где s < t. Приращения не являются независимыми.

Связь с другими случайными процессами

Если W(t) — стандартный винеровский процесс (т.е. для t ≥ 0, W(t) нормально распределено со средним 0 и дисперсией t, а приращения являются независимыми), то имеем броуновский мост

${\displaystyle B\left(t\right)=W(t)-t\cdot W(1)}$

В свою очередь, если взять броуновский мост B(t) и стандартную нормально распределенную случайную величину Z, то процесс

${\displaystyle W(t)=B\left(t\right)+tZ}$

будет винеровский процессом для t ∈ [0, 1]. В общем, при t ∈ [0, T] имеем

${\displaystyle W(t)=B\left({\frac {t}{T}}\right)+{\frac {t}{\sqrt {T}}}Z}$

Броуновский мост является следствием теоремы Донскера-Прохорова^[англ.] применительно к эмпирическим процессам^[англ.]. Также он используется в критерии согласия Колмогорова-Смирнова для статистического вывода.

Используется при доказательстве теоремы Колмогорова. Пусть функция распределения ${\displaystyle F(x)}$ непрерывна, рассмотрим случайную величину

${\displaystyle D_{n}=\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }|{\hat {F}}_{n}(x)-F(x)|}$, где

${\displaystyle {\hat {F}}_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\mathbf {I} \{X_{j}\leqslant x\}}$ – эмпирическая функция распределения.

Пусть ${\displaystyle (W_{t},t\in [0,1])}$ –  винеровский процесс.

Тогда ${\displaystyle {\sqrt {n}}\cdot D_{n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\max \limits _{t\in [0,1]}|W_{t}-tW_{1}|}$, то есть максимальный разрыв ${\displaystyle D_{n}}$ между истинной функцией распределения и эмпирической (которую легко построить по имеющейся конечной выборке), умноженный на ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ (отвечает за скорость сходимости), стремится по распределению к максимуму на отрезке модуля броуновского моста.

Общий случай

В общем случае, когда ${\displaystyle B(t_{1})=a}$ и ${\displaystyle B(t_{2})=b}$, распределение ${\displaystyle B(t)}$ при ${\displaystyle t\in (t_{1},t_{2})}$ является нормальным:

${\displaystyle B(t)\sim N\left(a+{\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}(b-a),{\frac {(t-t_{1})(t_{2}-t)}{t_{2}-t_{1}}}\right)}$

Замечание

Предположим, мы сгенерировали последовательность точек W(0), W(1), W(2), W(3) и т.д. винеровского процесса с помощью компьютерной симуляции. Если мы захотим вставить дополнительную точку на интервале [0,1], то мы должны использовать броуновский мост, проходящий через W(0) и W(1).

См. также

• Гауссовский процесс
• Винеровский процесс
• англ. Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering, ISBN 0-387-00451-3, Springer-Verlag New York, 2004