Гипотеза Пойи

Эта статья — об опровергутой теоретико-числовой гипотезе. О гипотезе, связанной с гипотезой Римана см. гипотеза Гильберта — Пойи.

График сумм ${\displaystyle L(n)}$ вплоть до ${\displaystyle n=10^{7}}$. Колебания обусловлены первыми нетривиальными нулями дзета-функции Римана.

Отрезок, на котором впервые нарушается гипотеза Пойи, крупным планом.

Логарифмический график ${\displaystyle L(n)}$ вплоть до ${\displaystyle n=2\cdot 10^{9}}$. Зелёным выделен участок, в котором происходит первое нарушение гипотезы. Синяя кривая показывает вклад нетривиальных нулей дзета-функции Римана в колебания функции ${\displaystyle L(n)}$.

Гипотеза Пойи — гипотеза в теории чисел, выдвинутая Дьёрдем Пойей в 1919 году и опровергнутая Хейзелгроувом в 1958 году. Значение наименьшего контрпримера к ней — 906 150 257 — часто используется как иллюстрация к тому, что даже гипотезы, проверенные на огромных числовых промежутках, могут быть опровергнуты и требуют строгих доказательств.

Гипотеза утверждает, что не меньше половины натуральных чисел, меньших любого заранее фиксированного числа, разлагаются на нечётное количество простых множителей с учётом кратности, то есть для любого ${\displaystyle n}$ выполнено неравенство:

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leqslant 0}$,

где ${\displaystyle \lambda (k)}$ — функция Лиувилля, принимающая значение ${\displaystyle 1}$, если ${\displaystyle k}$ разлагается на чётное количество простых множителей с учётом кратности, и ${\displaystyle -1}$ в противном случае. Здесь фраза «с учётом кратности» означает, что каждый множитель учитывается количество раз, равное его степени в разложении.

Гипотеза была опровергнута в 1958 году Хейзелгроувом, показавшим, что существует контрпример, и оценившим его в примерно ${\displaystyle 1{,}845\cdot 10^{361}}$. Первый конкретный контрпример был найден Шерманом-Леманом в 1960 году — 906 180 359. В 1980 году был вычислен наименьший контрпример — 906 150 257. Гипотеза ложна для большинства чисел между 906 150 257 и 906 488 079; максимум, которого достигает ${\displaystyle L(n)}$ в этом диапазоне — 829 (для 906 316 571). Неизвестно, меняет ли ${\displaystyle L(n)}$ знак бесконечное количество раз^[1].

Нули функции

Нули функции ${\displaystyle L(n)}$ распределены крайне неравномерно, их последовательность начинается следующим образом^[2]:

2; 4; 6; 10; 16; 26; 40; 96; 586; 906 150 256; 906 150 294; 906 150 308; 906 150 310; 906 150 314, …

Медленный рост продолжается вплоть до члена под номером 252, равного 906 488 080, а следующий член уже равен 351 100 332 278 250.

Примечания

1. Weisstein, Eric W. Pólya Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
2. последовательность A028488 в OEIS

Ссылки

• Популярное видео на канале SparksMaths Архивная копия от 28 августа 2020 на Wayback Machine
• Статья на MathWorld Архивная копия от 18 марта 2020 на Wayback Machine