Гладкие структуры на четырёхмерном евклидовом пространстве

Гладкие структуры на четырёхмерном евклидовом пространстве — примеры гладких многообразий гомеоморфных, но не обязательно диффеоморфных четырёхмерному евклидову пространству.

Четырёхмерное евклидово пространство допускает экзотические гладкие структуры, то есть не диффеоморфные четырёхмерному евклидову пространству. В размерностях, отличных от 4, экзотических гладких структур на евклидовом пространстве не существует.

История

Существование таких примеров было доказано в 1982 году Майклом Фридманом и другими. Доказательство использовало теорему Фридмана о топологических 4-мерных многообразиях, и теорему Саймона Дональдсона о гладких 4-мерных многообразиях.

Существования континуума различных гладких структур на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ было доказано сначала Клиффордом Таубесом.

До этого существование экзотических гладких структур было известно на сферах, хотя вопрос о существовании таких структур на 4-мерной сфере остаётся открытым (по состоянию на 2016 год).

Типы

Экзотическую гладкую структуру ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ называется малой, если она диффеоморфна открытому подмножеству стандартом ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. В противном случае называется большой.

Ссылки

• Topology of 4-manifolds (неопр.). — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990. — Т. 39. — ISBN 0-691-08577-3.
• A universal smoothing of four-space (неопр.) // Journal of Differential Geometry. — 1986. — Т. 24, № 1. — С. 69—78. — ISSN 0022-040X. (недоступная ссылка)
• Kirby, Robion C. The topology of 4-manifolds (неопр.). — Berlin: Springer-Verlag, 1989. — Т. 1374. — ISBN 3-540-51148-2.
• Scorpan, Alexandru. The wild world of 4-manifolds (неопр.). — Providence, RI: American Mathematical Society, 2005. — ISBN 978-0-8218-3749-8.
• Stallings, John^[англ.]. The piecewise-linear structure of Euclidean space (англ.) // Proc. Cambridge Philos. Soc.^[англ.] : journal. — 1962. — Vol. 58, no. 3. — P. 481—488. — doi:10.1017/s0305004100036756. MR: 0149457
• 4-manifolds and Kirby calculus (неопр.). — Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. — Т. 20. — ISBN 0-8218-0994-6.
• Taubes, Clifford Henry^[англ.]. Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds (англ.) // Journal of Differential Geometry : journal. — 1987. — Vol. 25, no. 3. — P. 363—430.