Голигон

Пример простого 8-стороннего голигона

Голигон — это любой многоугольник, в котором все углы прямые, а длины сторон являются последовательными целыми числами (от 1 до n). Голигоны придумал (и дал им название) Ли Сэллоус^[англ.], а популяризовал Александр Дьюдни^[англ.] в колонке 1990 года в журнале Scientific American ^[1]. Вариации определения голигонов позволяют сторонам пересекаться, иметь в качестве длин сторон любые целые числа (не обязательно последовательные) и иметь углы, отличные от 90°^[2].

Свойства

В любом голигоне все горизонтальные стороны имеют одинаковую чётность, то же верно и для вертикальных сторон. Таким образом, число сторон n должно быть решением системы уравнений

${\displaystyle \pm 1\pm 3\cdots \pm (n-1)=0}$

${\displaystyle \pm 2\pm 4\cdots \pm n=0.}$

откуда следует, что n должно делиться на 8.

Число различных голигонов (с разрешением пересечения сторон) с заданным допустимым значением n можно вычислить эффективно с помощью генерирующих функций (последовательность A007219 в OEIS). Число голигонов для допустимых значений n равно 4, 112, 8432, 909288, и т. д.^[3]. Поиск числа голигонов с непересекающимися сторонами существенно более сложная задача.

Существует единственный восьмисторонний голигон (показан на рисунке). Этот голигон может замостить плоскость (с поворотом на 180 градусов, см. статью «Критерий Конвея»).

Обобщения

Равноугольник с последовательными длинами сторон порядка n — это замкнутый многоугольник с постоянными углами в каждой вершине, имеющий последовательные длины сторон 1, 2, …, n. Многоугольник может иметь самопересечения^[4][5].

Трёхмерное обобщение голигона называется голигранником — это замкнутое односвязное тело, ограниченное гранями кубической решётки с площадями граней 1, 2, …, n для некоторого целого числа n^[6]. Были найдены голигранники со значениями n, равными 32, 15, 12 и 11 (минимальное значение)^[7].

Примечания

1. Dewdney, 1990, с. 118–121.
2. Smith.
3. Weisstein, Eric W. Golygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
4. Sallows, 1992, с. 55–67.
5. Sallows, Gardner, Guy, Knuth, 1991, с. 315–324.
6. Golygons and golyhedra  (неопр.). Дата обращения: 4 марта 2017. Архивировано 26 марта 2015 года.
7. Golyhedron update  (неопр.). Дата обращения: 4 марта 2017. Архивировано 27 ноября 2014 года.

Литература

• A.K. Dewdney. An odd journey along even roads leads to home in Golygon City // Scientific American. — 1990. — Т. 263. — С. 118–121.
• Harry J. Smith. What is a Golygon?  (неопр.) Архивировано 27 октября 2009 года.
• Lee Sallows. New pathways in serial isogons // The Mathematical Intelligencer. — 1992. — Т. 14, вып. 2. — С. 55–67. — doi:10.1007/BF03025216.
• Lee Sallows, Martin Gardner, Richard K. Guy, Donald Knuth. Serial isogons of 90 degrees // Mathematics Magazine. — 1991. — Т. 64, вып. 5. — С. 315–324. — doi:10.2307/2690648. — JSTOR 2690648.

Ссылки

• Голигоны в OEIS