Грассманиан

Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства ${\displaystyle V}$ размерности ${\displaystyle n}$ называется многообразие, состоящее из его ${\displaystyle p}$-мерных подпространств. Обозначается ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{p}(V)}$ или ${\displaystyle \mathbf {Gr} (p,n)}$ или ${\displaystyle \mathbf {Gr} (p,V)}$. В частности, ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ — это многообразие прямых в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, совпадающее с проективным пространством ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n-1}}$. Названо в честь Германа Грассмана.

На грассманиане существует естественная проективная параметризация (координаты определены с точностью до умножения на константу). Соответствующие координаты называются координатами Плюккера. Они определяют вложение ${\displaystyle \mathbf {Gr} (p,n)\subset \mathbf {P} ^{{n \choose p}-1}}$. Алгебраические соотношения на плюккеровы координаты, определяющие образ вложения в проективном пространстве, называются соотношениями Плюккера.

Доказательство

Грассманиан ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{p}(V)}$ можно наделить следующим атласом.

Пусть ${\displaystyle \Pi \in \mathbf {Gr} _{p}(V)}$ — ${\displaystyle p}$-мерное подпространство ${\displaystyle V}$. Введём в векторном пространстве ${\displaystyle V}$ скалярное произведение и обозначим через ${\displaystyle \Pi ^{\perp }}$ ортогональное дополнение ${\displaystyle \Pi }$.

Так как ${\displaystyle \Pi \oplus \Pi ^{\perp }=V}$, то любое ${\displaystyle p}$-мерное подпространство ${\displaystyle \Pi '}$, достаточно близкое к ${\displaystyle \Pi }$, можно отождествить с линейным отображением ${\displaystyle A:\Pi \to \Pi ^{\perp }}$, если представить каждый вектор ${\displaystyle a\in \Pi '}$ в виде суммы ${\displaystyle a=x+y}$, где ${\displaystyle x\in \Pi }$ и ${\displaystyle y\in \Pi ^{\perp }}$, и положить ${\displaystyle A(x)=y}$.

Тогда окрестность точки ${\displaystyle \Pi \in \mathbf {Gr} _{p}(V)}$ взаимно однозначно отображается на некоторое открытое подмножество пространства линейных отображений ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\Pi ,\Pi ^{\perp })}$. Построенный атлас делает ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{p}(V)}$ аналитическим многообразием размерности ${\displaystyle p(n-p)}$, где ${\displaystyle n=\dim V}$.

Для того, чтобы показать, что ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{p}(V)}$ является проективным алгебраическим многообразием, нужно воспользоваться соотношениями Плюккера, которые являются однородными алгебраическими уравнениями второй степени.

Свойства

• Грассманиан ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{p}(V)}$ является проективным алгебраическим многообразием размерности ${\displaystyle p(n-p)}$, где ${\displaystyle n=\dim V}$. Соответственно, если ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ — комплексное пространство, то грассманиан будет комплексно-алгебраическим многообразием.
• Грассмановым конусом порядка ${\displaystyle p}$ называется множество разложимых элементов внешней степени ${\displaystyle \wedge ^{p}V}$, то есть ${\displaystyle p}$-форм, представимых в виде произведения ${\displaystyle p}$ 1-форм. Проективизация грассманова конуса порядка ${\displaystyle p}$ совпадает с ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{p}(V)}$.

• В силу естественного изоморфизма ${\displaystyle p}$-форм и ${\displaystyle (n-p)}$-форм, грассмановы многообразия порядка ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle n-p}$ совпадают.

• Вещественный грассманиан можно представить как однородное пространство ортогональной группы.

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbb {R} ^{n})=O(n)/\left(O(k)\times O(n-k)\right)}$

Аналогично, комплексный грассманиан соответствует унитарной группе.

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbb {C} ^{n})=U(n)/\left(U(k)\times U(n-k)\right)}$.

Эти соотношения означают, что линейное подпространство ${\displaystyle W}$ евклидова пространства можно задать, выбрав в объемлющем пространстве ортонормальный базис, первые ${\displaystyle \dim W}$ векторов которого образуют базис в ${\displaystyle W}$. Такая параметризация не однозначна, возможен различный выбор базиса как в самом ${\displaystyle W}$, так и в его ортогональном дополнении. Устранению этого произвола соответствует взятие факторгруппы.

Клеточное разбиение

Грассманиан является клеточным пространством. Соответствующее клеточное разбиение называется клетки Шуберта. Оно строится следующим образом. Выберем в объемлющем пространстве базис ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$. Заданному k-мерному подпространству ${\displaystyle V}$ сопоставим набор чисел ${\displaystyle s_{1,\dots ,k}}$ (символ Шуберта) по правилу

${\displaystyle s_{i}=\min\{p\in \{1,\dots ,n\}\vert \dim \left(V\cap \left\langle e_{1},\dots ,e_{p}\right\rangle \right)=i\},\qquad i=1,\dots ,k}$

Здесь ${\displaystyle \left\langle e_{1},\dots ,e_{p}\right\rangle }$ — подпространство, натянутое на первые ${\displaystyle p}$ векторов базиса. Множество всех подпространств с заданными значениями ${\displaystyle s_{1,\dots ,k}}$ гомеоморфно клетке, размерность которой равна ${\displaystyle (s_{1}-1)+(s_{2}-2)+\dots +(s_{n}-n)}$. Для комплексного грассманиана все клетки являются комплексными пространствами, поэтому нетривиальные клетки имеются лишь в чётных размерностях. Как следствие, гомологии комплексного грассманиана имеют вид

${\displaystyle H_{m}(\mathbf {Gr} (k,n))={\begin{cases}0,\;m=2l+1\\\mathbb {Z} ^{d(k,l)},\;m=2l\end{cases}}}$

Здесь ${\displaystyle d(k,n)}$ — число различных символов Шуберта в (комплексной) размерности ${\displaystyle l}$.

Обобщения

• Многообразие всех ортонормированных k-реперов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ называется многообразием Штифеля ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$. Оно имеет естественную структуру локально тривиального расслоения, слоем которого является ортогональная группа:

${\displaystyle O(k)\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbf {Gr} _{k}(\mathbb {R} ^{n})}$

В частности, ${\displaystyle V_{n-1}(\mathbb {R} ^{n})\simeq SO_{n},}$, ${\displaystyle V_{n}(\mathbb {R} ^{n})\simeq O_{n},}$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7..

• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.