Идеальный цифровой инвариант

Идеальный цифровой инвариант (ИЦИ, англ. PDDI, perfect digit-to-digit invariant) (известен также под именем число Мюнхаузена^[1][2]) — это натуральное число, равное сумме цифр, каждая цифра возводится в степень, равную этой цифре.

${\displaystyle n=d_{k}^{d_{k}}+d_{k-1}^{d_{k-1}}+\dots +d_{2}^{d_{2}}+d_{1}^{d_{1}}\,.}$

0 и 1 являются ИЦИ по любому основанию (при соглашении, что 0⁰ = 0). Кроме 0 и 1, существует только два ИЦИ в десятичной системе, 3435 и 438579088 (последовательность A046253 в OEIS). Заметим, что второе из этих чисел является ИЦИ только при соглашении, что 0⁰ = 0, но это стандартное соглашение в этой области^[3][4].

${\displaystyle 3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=27+256+27+3125=3435}$

${\displaystyle 4^{4}+3^{3}+8^{8}+5^{5}+7^{7}+9^{9}+0^{0}+8^{8}+8^{8}}$

${\displaystyle =256+27+16777216+3125+823543+387420489+0+16777216+16777216=438579088}$

Более обще, существует конечное число ИЦИ по любому основанию. Это можно доказать следующим образом:

Пусть дано основание ${\displaystyle b}$. Любой ИЦИ ${\displaystyle n}$ по основанию ${\displaystyle b}$ равно сумме цифр и каждая цифра возведена в степень, равную этой цифре. Эта сумма меньше либо равна ${\displaystyle a(b-1)^{b-1}}$, где ${\displaystyle a}$ — число цифр в ${\displaystyle n}$, поскольку ${\displaystyle b-1}$ является наибольшей возможной цифрой по основанию ${\displaystyle b}$. Тогда,

${\displaystyle a(b-1)^{b-1}\geq n\geq b^{a-1}.}$

Выражение ${\displaystyle a(b-1)^{b-1}}$ растёт линейно от ${\displaystyle a}$, а выражение ${\displaystyle b^{a-1}}$ растёт экспоненциально от ${\displaystyle a}$. Так что существует некоторое число ${\displaystyle k>0}$, такое, что

${\displaystyle \forall a\geq k,\,\,a(b-1)^{b-1}<b^{a-1}.}$

Существует конечное число натуральных чисел ${\displaystyle n}$, имеющих менее k цифр, так что существует конечное число натуральных чисел ${\displaystyle n}$, удовлетворяющих первому неравенству. Таким образом, существует конечное число ИЦИ по основанию ${\displaystyle b}$.

Ниже нижний индекс у числа показывает основание счисления.

По всем основаниям 1 является ИЦИ.
По основанию 3 существует 2 ИЦИ, а именно 12₃ и 22₃. (5₁₀ и 8₁₀)
По основанию 4 существует 2 ИЦИ, а именно 131₄ и 313₄ (29₁₀ и 55₁₀)
По основанию 6 существует 2 ИЦИ, а именно 22352₆ и 23452₆ (3164₁₀ и 3416₁₀)
По основанию 7 существует 1 ИЦИ, а именно 13454₇ (3665₁₀)
По основанию 9 существует 3 ИЦИ, а именно 31₉, 156262₉ и 1656547₉ (28₁₀, 96446₁₀ и 923362₁₀)

При соглашении ${\displaystyle 0^{0}=0}$ следующие числа являются ИЦИ

По всем основаниям 0 является ИЦИ.
По основанию 4 существует один дополнительный ИЦИ, а именно 130₄ (28₁₀)
По основанию 5 существует 2 ИЦИ, а именно 103₅ и 2024₅ (28₁₀ и 264₁₀)
По основанию 8 существует 2 ИЦИ, а именно 400₈ и 401₈ (256₁₀ и 257₁₀)
По основанию 9 существует 3 дополнительных ИЦИ, а именно 30₉, 1647063₉ и 34664084₉ (27₁₀, 917.139₁₀ и 16.871.323₁₀)

Примечания

1. Более точный перевод — совершенный цифровой инвариант, но это название уже прижилось для чисел Армстронга (англ. pluperfect digital invariant, PPDI), что правильнее бы перевести превосходный цифровой инвариант.
2. van Berkel, Daan (2009). "On a curious property of 3435". arXiv:0911.3038 [math.HO].
3. Narcisstic Number Архивная копия от 12 октября 2017 на Wayback Machine, Harvey Heinz
4. Wells, 1997, с. 185.

Литература

David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — London: Penguin, 1997. — ISBN 0-14-026149-4.

Ссылки

• Parker, Matt 3435 – Matt's Ex  (неопр.). Numberphile. Brady Haran. Дата обращения: 18 апреля 2017. Архивировано из оригинала 13 апреля 2017 года.