Идеальный цифровой инвариант

Идеальный цифровой инвариант (ИЦИ, англ. PDDI, perfect digit-to-digit invariant) (известен также под именем число Мюнхаузена[1][2]) — это натуральное число, равное сумме цифр, каждая цифра возводится в степень, равную этой цифре.

0 и 1 являются ИЦИ по любому основанию (при соглашении, что 00 = 0). Кроме 0 и 1, существует только два ИЦИ в десятичной системе, 3435 и 438579088 (последовательность A046253 в OEIS). Заметим, что второе из этих чисел является ИЦИ только при соглашении, что 00 = 0, но это стандартное соглашение в этой области[3][4].

Более обще, существует конечное число ИЦИ по любому основанию. Это можно доказать следующим образом:

Пусть дано основание . Любой ИЦИ по основанию равно сумме цифр и каждая цифра возведена в степень, равную этой цифре. Эта сумма меньше либо равна , где — число цифр в , поскольку является наибольшей возможной цифрой по основанию . Тогда,
Выражение растёт линейно от , а выражение растёт экспоненциально от . Так что существует некоторое число , такое, что
Существует конечное число натуральных чисел , имеющих менее k цифр, так что существует конечное число натуральных чисел , удовлетворяющих первому неравенству. Таким образом, существует конечное число ИЦИ по основанию .

Ниже нижний индекс у числа показывает основание счисления.

По всем основаниям 1 является ИЦИ.
По основанию 3 существует 2 ИЦИ, а именно 123 и 223. (510 и 810)
По основанию 4 существует 2 ИЦИ, а именно 1314 и 3134 (2910 и 5510)
По основанию 6 существует 2 ИЦИ, а именно 223526 и 234526 (316410 и 341610)
По основанию 7 существует 1 ИЦИ, а именно 134547 (366510)
По основанию 9 существует 3 ИЦИ, а именно 319, 1562629 и 16565479 (2810, 9644610 и 92336210)

При соглашении следующие числа являются ИЦИ

По всем основаниям 0 является ИЦИ.
По основанию 4 существует один дополнительный ИЦИ, а именно 1304 (2810)
По основанию 5 существует 2 ИЦИ, а именно 1035 и 20245 (2810 и 26410)
По основанию 8 существует 2 ИЦИ, а именно 4008 и 4018 (25610 и 25710)
По основанию 9 существует 3 дополнительных ИЦИ, а именно 309, 16470639 и 346640849 (2710, 917.13910 и 16.871.32310)

Примечания

[править | править код]
  1. Более точный перевод — совершенный цифровой инвариант, но это название уже прижилось для чисел Армстронга (англ. pluperfect digital invariant, PPDI), что правильнее бы перевести превосходный цифровой инвариант.
  2. van Berkel, Daan (2009). "On a curious property of 3435". arXiv:0911.3038 [math.HO].
  3. Narcisstic Number Архивная копия от 12 октября 2017 на Wayback Machine, Harvey Heinz
  4. Wells, 1997, с. 185.

Литература

[править | править код]

David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — London: Penguin, 1997. — ISBN 0-14-026149-4.