Икосаэдральное число

Икосаэдра́льное число́ — разновидность многогранных фигурных чисел, связанная с икосаэдром. Общая формула^[1] для ${\displaystyle n}$-го по порядку икосаэдрального числа ${\displaystyle I_{n}}$:

${\displaystyle I_{n}={\frac {n(5n^{2}-5n+2)}{2}}}$

Первые из икосаэдральных чисел (последовательность A006564 в OEIS):

${\displaystyle 1,12,48,124,255,456,742,1128,1629,2260\dots }$

Рекуррентная формула^[1]:

${\displaystyle I_{n}=I_{n-1}+{\frac {15n^{2}-25n+12}{2}};\quad I_{1}=1}$

Производящая функция последовательности^[1]:

${\displaystyle {\frac {x(1+8x+6x^{2})}{(1-x)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}x^{n};\quad |x|<1}$

Связь с тетраэдральными числами^[1] ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$:

${\displaystyle I_{n}=\mathbb {T} _{n}+8\mathbb {T} _{n-1}+6\mathbb {T} _{n-2}}$

Из общей формулы видно, что икосаэдральное число всегда составное (делится на ${\displaystyle n}$).

Примечания

1. Деза Е., Деза М., 2016, с. 87—88.

Литература

• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.