Йорданова алгебра

Йорданова алгебра — (неассоциативная) алгебра над кольцом, в которой справедливы тождества

1. ${\displaystyle xy=yx}$ (коммутативность)
2. ${\displaystyle (x^{2}y)x=x^{2}(yx)}$ (йорданово тождество)

Йордановы алгебры были введены Паскуалем Йорданом в 1933 году для аксиоматизации основ квантовой механики, точнее, для формализации понятия алгебры квантовых наблюдаемых. Они были изначально названы «r-системы счисления». Термин йордановы алгебры ввёл Абрахам Альберт в 1946 при систематическом их изучении.

Примеры

Пусть ${\displaystyle A}$ — ассоциативная алгебра над полем характеристики ${\displaystyle \not =2}$. Множество ${\displaystyle A}$ с операциями сложения и йорданова умножения

${\displaystyle a\circ b=(ab+ba)/2}$

образует алгебру ${\displaystyle A^{+}}$, которая является йордановой. Такие алгебры называются специальными йордановыми алгебрами.

Ссылки

• Jordan P., Ueber Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. Phys. Kl. I, 41 (1933) 209—217.
• Jordan, P.; Neumann, J. von; Wigner, E. (1934), «On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism», Annals of Mathematics (Princeton) Vol.35 No.1. (1934) 29-64. doi:10.2307/1968117
• Albert A. A. On Jordan algebras of linear transformations, Transactions of the American Mathematical Society 59 (3): (1946) 524—555.
• Йорданова алгебра — статья из Математической энциклопедии

Литература

• Кон П. Глава VII, §7. // Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — С. 316—328. — 351 с.
• Мельников О. В.; Ремесленников В. Н.; Романьков В. А.; Скорняков Л. А.; Шестаков И. П. Глава 3, §7. Кольца и модули с дополнительной структурой // Общая алгебра / Скорняков Л. А.. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 404—419. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.