Здесь — пространство гладких функций на , — пространство 1-форм, то есть — пространство -форм. Заметим, что .
-мерная группа когомологий этого коцепного комплекса является его мерой точности в -м члене и определяется как
Форма называется замкнутой, если , в этом случае .
Форма называется точной, если , для некоторой , то есть .
Заметим, что всякая точная форма является замкнутой.
Более геометрически, идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы классифицировать замкнутые формы на многообразии: две замкнутые формы и в называются когомологичными, если они отличаются на точную форму, то есть их разность является точной формой. Это определение порождает отношение эквивалентности на множестве замкнутых форм в .
Когомологическим классом формы называется множество всех замкнутых форм, отличающихся от на точную форму — то есть множество форм вида .
-мерная группа когомологий де Рама — это факторгруппа всех замкнутых форм в по подгруппе точных форм.
Действительно, формы степени 0 — это скалярные функции. Замкнутость означает, что функции имеют нулевую производную, то есть постоянны на каждой компоненте связности многообразия.
Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиямицепных комплексов. А именно, ключевое следствие из теоремы состоит в том, что «интегралы от замкнутой формы по гомологичным цепям равны»: если — замкнутая -форма, а и — гомологичные -цепи (то есть является границей -мерной цепи ), то
поскольку их разность есть интеграл
Таким образом, спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования определяет гомоморфизм из когомологий де Рама в группу сингулярных когомологий. Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что на гладких многообразиях это отображение является изоморфизмом:
где — комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию .
Например, если — дополнение к алгебраической гиперповерхности в , то когомологии могут быть вычислены при помощи рациональных дифференциальных форм на с полюсами на этой гиперповерхности.