Кэлерово многообразие

Кэлерово многообразие — многообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой, римановой метрикой и симплектической формой.

Названы в честь немецкого математика Эриха Келера.

Определения

Как симплектическое многообразие: кэлерово многообразие — симплектическое многообразие ${\displaystyle (K,\omega )}$ с интегрируемой почти комплексной структурой, которая согласуется с симплектической формой.

Как комплексное многообразие: кэлерово многообразие представляет собой эрмитово многообразие^[англ.] с замкнутой эрмитовой формой. Такая эрмитова форма называется кэлеровой.

Связь между определениями

Пусть ${\displaystyle h}$ — эрмитова форма, ${\displaystyle \omega }$ — симплектическая форма и ${\displaystyle J}$ — почти комплексная структура. Согласуемость ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle J}$ означает, что форма:

${\displaystyle g(u,v)=\omega (u,Jv)}$

является римановой; то есть положительно определённой. Связь между этими структурами можно выразить тождеством:

${\displaystyle h=g-i\omega .}$

Кэлеров потенциал

На комплексном многообразии ${\displaystyle K}$ каждая строго плюригармоническая функция^[англ.] ${\displaystyle \rho \in C^{\infty }(K;\mathbb {R} )}$ порождает кэлерову форму

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho .}$

При этом функция ${\displaystyle \rho }$ называется кэлеровым потенциалом формы ${\displaystyle \omega }$.

Локально верно обратное. Точнее, для каждой точки ${\displaystyle p}$ кэлерова многообразия ${\displaystyle (K,\omega )}$ существует окрестность ${\displaystyle U\ni p}$ и функция ${\displaystyle \rho \in C^{\infty }(U,\mathbb {R} )}$ такая, что

${\displaystyle \omega \vert _{U}=i\partial {\bar {\partial }}\rho }$.

При этом ${\displaystyle \rho }$ называется локальным Кэлеровым потенциалом формы ${\displaystyle \omega }$.

Примеры

• Комплексное евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ со стандартной эрмитовой формой.
• Каждая риманова метрика на ориентируемой поверхности определяет кэлерово многообразие, поскольку замкнутость ${\displaystyle \omega }$ тривиальна в вещественной размерности два.
• Комплексное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}}$ с метрикой Фубини — Штуди.
• Индуцированная метрика на комплексное подмногообразии в кэлеровом многообразии.
  • В частности, любое многообразие Штейна^[англ.] и любое проективное алгебраическое многообразие.
  • По теореме Кодайры о вложении кэлерово многообразие, допускающее положительное расслоение со слоем прямая, вкладывается в проективное пространство.
• K3-поверхности
• Важным подклассом кэлеровых многообразий являются многообразия Калаби — Яу.

См. также

• Почти комплексного многообразия

Литература

• P. Deligne, Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan. Real homotopy theory of Kähler manifolds // Invent. Math. — 1975. — Т. 29. — С. 245–274. — doi:10.1007/BF01389853.
• E. Kähler. Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. — 1933. — Т. 9. — С. 173–186. — doi:10.1007/BF02940642.
• R. Hartshorne. Algebraic Geometry. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1977. — ISBN 978-0-387-90244-9.
• Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
• A. Moroianu. Lectures on Kähler geometry. — Cambridge University Press, 2007. — Т. 69. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-68897-0.
• A. Weil. Introduction à l'étude des variétés kählériennes. — 1958.