Лемма Маргулиса

Лемма Маргулиса — одно из ключевых утверждений об изометрических действиях на римановых многообразиях.

Названа в честь Григория Александровича Маргулиса.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle M}$ есть риманово многообразие и ${\displaystyle U\subset M}$ — открытое подмножество. Для изометрии ${\displaystyle f\colon M\to M}$, определим норму:

${\displaystyle |f|=\sup _{x\in U}\{|f(x)-x|_{M}\}}$,

где ${\displaystyle |x-y|_{M}}$ обозначает расстояние от ${\displaystyle x}$ до ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M}$. Тогда существует константа ${\displaystyle C}$ такая, что:

${\displaystyle |[f,g]|\leq C\cdot |f|\cdot |g|}$

для произвольных двух изометрий ${\displaystyle f,g\colon M\to M}$, здесь ${\displaystyle [f,g]}$ обозначает коммутатор, то есть ${\displaystyle [f,g]=f\circ g\circ f^{-1}\circ g^{-1}}$.

Более того, если ${\displaystyle U}$ есть шар радиуса ${\displaystyle R}$ то константа ${\displaystyle C}$ зависит только от ${\displaystyle R}$, и оценок на кривизну в ${\displaystyle U}$ и радиуса инъективности в центре шара.

Следствия

• Пусть группа ${\displaystyle \Gamma }$ действует изометрично и вполне разрывно на многообразии ${\displaystyle M}$. Предположим существует система образующих ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle \Gamma }$, такая, что ${\displaystyle |f(x_{0})-x_{0}|}$ достаточно мало для любого ${\displaystyle f\in F}$ и фиксированной точки ${\displaystyle x_{0}\in M}$. Тогда ${\displaystyle \Gamma }$ почти нильпотентна; то есть ${\displaystyle \Gamma }$ содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса.