Матрица единиц

Не следует путать с единичной матрицей.

В математике, матрица единиц — это матрица, каждый элемент которой равен единице. Примеры:

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.\quad }$

Свойства

Для квадратной n×n-матрицы единиц J верны следующие утверждения:

• След матрицы J равен n, а определитель равен 1 при n=1, и 0 во всех остальных случаях.
• Ранг матрицы J равен 1.
• У матрицы J только два собственных значения: n (некратное) и 0 (кратности n-1).
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J,{\mbox{ for }}k=1,2,\ldots .}$
• Матрица ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$ является идемпотентной.
• Экспонента от матрицы единиц представляется в виде: ${\displaystyle \exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J.}$
• J является единичным элементом относительно произведения Адамара.