↑ Количество игр и голов за профессиональный клуб считается только для различных лиг национальных чемпионатов, обновлено по состоянию на 30 января 2025 года.
↑ Количество игр и голов за национальную сборную в официальных матчах.
В 5 лет начал заниматься футболом в школе московского «Динамо», первый тренер — Юрий Алексеевич Ментюков. В 2008 году в команде сменился тренер, с которым у Мелкадзе возникли разногласия, поэтому он перешёл в «Спартак» в команду 1997 года рождения[3].
На детских и юношеских турнирах стабильно играл в основном составе «Спартака» 1997 г. р., который выиграл первенство Москвы по футболу в 2014 году.
После выпуска из академии в сезоне 2014/15 играл как за молодёжный состав «Спартака» (14 матчей, 4 гола в молодёжном первенстве), так и за «Спартак-2» (7 матчей, 1 гол в ПФЛ)[4]. Дебют за вторую команду состоялся 23 сентября 2014 года в матче против «Знамени Труда»[5]. Также два раза вышел на замену в РФПЛ за основной состав «Спартака», дебютировав 17 мая 2015 года в матче 28-го тура против ЦСКА (0:4), выйдя на 59-й минуте запомнился активными и смелыми действиями[6][7].
Георгий Мелкадзе (слева) в 2019 году
Сезон 2015/16 начал выступая за «Спартак-2» в ФНЛ, занимая разные позиции в полузащите, чаще всего на левом фланге. Всего провёл 22 матча (10 — в стартовом составе), в которых забил 7 мячей и отдал 4 голевые передачи[8][9], что позволило ему стать одним из трёх лучших бомбардиров и вторым по системе «гол+пас» среди игроков «Спартака-2». С января 2016 года тренировался с основной командой «Спартака» и попадал в заявки команды на все матчи осенней части премьер-лиги. В этих матчах 4 раза выходил на замену, не отметившись результативными действиями[10]. Таким образом, зиму и весну 2016 года Мелкадзе провёл, выступая сразу за две команды в структуре «Спартака». По этой причине в весенней части первенства ФНЛ участвовал только в домашних матчах, проводя на поле не более 45 минут. Однако, это не помешало ему стать лучшим молодым футболистом ФНЛ по итогам сезона[11].
В декабре 2015 года подписал новый контракт со «Спартаком» до 31 мая 2019 года[12]. 29 мая 2019 года Мелкадзе продлил контракт с клубом, новое соглашение рассчитано на 3 года[13]. Всего за «Спартак» выступал с 2015 по 2021 год и провёл 26 матчей во всех турнирах.
4 июня 2017 года был отдан в годичную аренду в клуб Премьер-лиги «Тосно»[14]. Дебютировал 15 июля 2017 года в матче 1-го тура чемпионата России против «Уфы» (0:1), выйдя в стартовом составе и проведя на поле весь матч[15]. За «Тосно» провёл 21 матч в чемпионате России и 1 матч в Кубке России, не отличившись результативными действиями. Вместе с клубом стал обладателем Кубка России 2017/18.
2 сентября 2019 перешёл в «Тамбов» на правах годичной аренды, который впервые вышел в Премьер-лигу[16][17]. Дебютировал за «Тамбов» 15 сентября 2019 года в домашнем матче 9-го тура чемпионата России против ЦСКА, выйдя в стартовом составе и проведя на поле весь матч[18]. 21 сентября 2019 года в домашнем матче 10-го тура чемпионата России против «Ростова» (2:1) сделал «дубль» и принёс своей команде победу — это стали его первые мячи за «Тамбов» и в Премьер-лиге[19], также был признан лучшим игроком матча[20]. 5 октября 2019 года в гостевом матче 12-го тура чемпионата России против «Рубина» (1:2) на 54-й минуте забил мяч, но его команда не смогла спастись от поражения[21]. 2 ноября 2019 года в гостевом матче 15-го тура против «Сочи» (2:1) на 56-й минуте забил победный мяч и тем самым помог своей команде одержать победу[22]. 9 ноября 2019 года в гостевом матче 16-го тура против «Ростова» (2:1) на 52-й минуте забил мяч и помог своей команде победить[23], что позволило ему стать лучшим игроком матча[24]. 1 марта 2020 года в домашнем матче 20-го тура против «Рубина» (0:0) был признан лучшим игроком встречи[25][26]. 16 марта 2020 года в домашнем матче 22-го тура против «Крыльев Советов» (3:0) на 33-й минуте матча забил победный мяч[27], а также был признан лучшим игроком этого матча[28]. 31 июля 2020 года покинул «Тамбов» в связи с истечением срока арендного соглашения и вернулся в «Спартак». Всего за «Тамбов» провёл 18 матчей и забил 7 мячей.
13 августа 2020 года перешёл на правах аренды в грозненский «Ахмат», арендное соглашение рассчитано до конца сезона 2020/21[29][30]. 22 августа 2020 года в гостевом матче 4-го тура против «Химок» (2:1) дебютировал за «Ахмат» выйдя на замену на 66-й минуте матча вместо Исмаэля[31]. 27 сентября 2020 года забил свой дебютный мяч за грозненскую команду в домашнем матче 9-го тура против «Урала» (2:0)[32][33], также по итогу матча был признан лучшим игроком[34]. 4 октября 2020 года в гостевом матче 10-го тура против «Рубина» (1:1) на 80-й минуте матча реализовал пенальти и тем самым помог своей команде добиться ничейного результата[35]. 17 апреля 2021 года в домашнем матче 26-го тура против «Химок» (3:1) на 64-й минуте с передачи Анхеля забил красивый мяч ударом через себя[36], этот мяч стал лучшим голом в 26-м туре[37]. Всего в сезоне 2020/21 провёл за «Ахмат» 24 матча во всех турнирах, забил 3 мяча и сделал 2 голевые передачи. После окончания арендного соглашения вернулся в «Спартак».
25 января 2022 года на правах свободного агента перешёл в «Сочи»[38][39], подписав контракт на 2,5 года[40]. Дебютировал за клуб 26 февраля 2022 года в матче 19-го тура чемпионата России против тульского «Арсенала» (2:0), выйдя на замену на 79-й минуте вместо Матео Кассьерры[41]. Первый мяч за «Сочи» забил 20 марта 2022 года в матче 22-го тура чемпионата России против «Крыльев Советов» (2:3)[42]. 14 января 2024 года расторг контракт с клубом[43][44].
28 января 2024 года на правах свободного агента присоединился к грузинскому клубу «Колхети-1913»[45][46]. Дебютировал 1 марта 2024 года в первом матче сезона против батумского «Динамо», выйдя в стартовом составе[47]. Первый мяч за «Колхети-1913» забил 19 мая 2024 года в матче 15-го тура чемпионата Грузии против кутаисского «Торпедо» (2:5), отличившись в компенсированное ко второму тайму время с пенальти[48]. Всего за клуб провёл во всех турнирах 33 матча и забил шесть мячей.
В январе 2025 года Мелкадзе присоединился к «Ахмату» на правах свободного агента с начала подготовительных сборов и оформил хет-трик в первой контрольной игре[49]. 30 января 2025 года «Ахмат» объявил о заключении контракта с Мелкадзе на 2,5 года[50].