Метрика Пуанкаре

Метрика Пуанкаре на гиперболической римановой поверхности — согласованная с комплексной структурой метрика постоянной отрицательной кривизны на ней. На единичном диске D задаётся формулой^[1]

${\displaystyle ds^{2}={\frac {|dz|^{2}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}$

На любую другую поверхность S, универсальной накрывающей над которой является диск, метрика Пуанкаре корректно спускается факторизацией, поскольку метрика на диске инвариантна относительно его автоморфизмов.

Свойства

Метрика Пуанкаре инвариантна относительно автоморфизмов римановой поверхности, и (как утверждает теорема Шварца-Пика) не увеличивается произвольным голоморфным отображением.

Литература

1. Weisstein, Eric W. Poincaré Metric (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• Милнор, Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции. = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — С. 30-36. — 320 с. — ISBN 5-93972-006-4.