Многомерное шкалирование

Многомерное шкалирование — метод анализа и визуализации данных с помощью расположения точек, соответствующих изучаемым (шкалируемым) объектам, в пространстве меньшей размерности, чем пространство признаков объектов. Точки размещаются так, чтобы попарные расстояния между ними в новом пространстве как можно меньше отличались от эмпирически измеренных расстояний в пространстве признаков изучаемых объектов. Если элементы матрицы расстояний получены по интервальным шкалам, метод многомерного шкалирования называется метрическим. Когда шкалы являются порядковыми, метод многомерного шкалирования называется неметрическим. Мера различий расстояний в исходном и новом пространстве называется функцией стресса.

Мера качества отображения. Мерой, наиболее часто используемой для оценки качества подгонки модели (отображения), измеряемого по степени воспроизведения исходной матрицы сходств, является стресс.

Области применения

• Поиск скрытых переменных, объясняющих полученную из опыта структуру попарных расстояний между изучаемыми явлениями.
• Проверка гипотез о расположении изучаемых явлений в пространстве скрытых переменных.
• Сжатие полученное опытным путём массива данных путём использования небольшого числа скрытых переменных.
• Наглядное представление данных.

Функция расстояния

Функцией расстояния называется функция от двух аргументов, которая ставит в соответствие двум шкалируемым объектам расстояние ${\displaystyle d(a_{i},a_{j})}$ между ними так, что выполняются следующие аксиомы: ${\displaystyle d(a_{i},a_{j})=0}$ в том и только том случае, когда объекты ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle a_{j}}$ совпадают (рефлексивность расстояния), ${\displaystyle d(a_{i},a_{j})=d(a_{j},a_{i})}$ (симметричность расстояния), ${\displaystyle d(a_{i},a_{j})+d(a_{j},a_{k})\geqslant d(a_{i},a_{k})}$ (правило треугольника)^[1].

Функция близости

Функция близости менее формализована, так как она является опытной величиной, например, получаемой в ходе социологического опроса. Это функция ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})}$ от двух аргументов, которая двум шкалируемым объектам ставит в соответствие расстояние ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})}$ между ними так, что выполняются следующие аксиомы: ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})\geqslant s(a_{i},a_{i})}$ (объект ближе к самому себе, чем к любому другому объекту), ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})=s(a_{j},a_{i})}$ (симметричность близости), для больших значений ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})}$ и ${\displaystyle s(a_{j},a_{k})}$ величина ${\displaystyle s(a_{i},a_{k})}$ имеет, по крайней мере, тот же порядок (ослабленное правило треугольника).

Примечания

1. Толстова, 2006, с. 35.

Литература

• Толстова Ю. Н. Основы многомерного шкалирования. — М.: КДУ, 2006. — 160 с. — ISBN 5-98227-100-4.
• Дэйвисон М. Многомерное шкалирование: методы наглядного представления данных. — М.: Финансы и статистика, 1988. — 254 с. — ISBN 5-279-00276-3.
• Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Енюков И. С. и др. Прикладная статистика: классификация и снижение размерности. — М.: Финансы и статистика, 1989. — 607 с.