Модель LMM

Модель рынка либор (LMM, LIBOR Market Model) или Модель BGM (Brace-Gatarek-Musiela Model - модель Брейса-Гатарека-Мусиелы), а также иногда логнормальная модель форвардных ставок (LFM, LFRM) - в финансовой математике это модель динамики совокупности форвардных ставок в единой мере, используемая при оценке процентных производных инструментов, особенно экзотических производных инструментов.

Наличие в названии "рынка либор" связано с тем, что в на практике ее можно было применять к существовавшему длительное время рынку процентных ставок LIBOR. Альтернативное наименование LFM конкретизирует логнормальный характер моделирования каждой форвардной ставки в собственной форвардной мере по аналогии с моделью Блэка. Собственно, оценка стоимости таких инструментов как кэпы и флоры в рамках такой модели эквивалентно оценке по формуле Блэка. Кроме того такое наименование модели в некотором смысле противопоставляется аналогичной модели для своп-ставок - LSM или LSRM (lognormal swap-rates model), так как, строго говоря логнормальность форвардных ставок и своп-ставок математически несовместимы (поэтому, одновременное использование формулы Блэка и для кэпов/флоров и для свопционов вообще говоря теоретически не совсем корректно).

На практике требуется применение численных методов для использования модели, в том числе методов симуляции (Монте-Карло).

Математическое представление модели

В модели LMM динамика форвардных ставок в некоторой ${\displaystyle T_{p}}$-форвардной мере определяется следующими стохастическими дифференциальными уравнениями:

$${\displaystyle dF_{j}(t)={\begin{cases}F_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW_{j}^{Q^{T_{p}}}(t)-F_{j}(t)\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\tau F_{k}(t)}{1+\tau F_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j<p\\F_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW_{j}^{Q^{T_{p}}}(t)&j=p\\F_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW_{j}^{Q^{T_{p}}}(t)+F_{j}(t)\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\tau F_{k}(t)}{1+\tau F_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j>p\\\end{cases}}}$$

где:

${\displaystyle F_{j}(t)}$ - форвардная ставка на j-й временной интервал, а ${\displaystyle \sigma _{j}}$ - ее локальная логнормальная волатильность

${\displaystyle W_{j}^{Q^{T_{p}}}}$ - винеровский процесс в ${\displaystyle T_{p}}$-форвардной мере для j-й форвардной ставки

${\displaystyle \rho _{jk}}$ - локальная корреляция винеровских процессов ${\displaystyle W_{j}^{Q^{T_{p}}}}$ и ${\displaystyle W_{k}^{Q^{T_{p}}}}$ , то есть ${\displaystyle dW_{j}^{Q^{T_{p}}}dW_{k}^{Q^{T_{p}}}=\rho _{jk}dt}$

В частности, если выбрана терминальная форвардная мера, то для всех форвардных ставок выполняется первое уравнение

Вывод формул

Форвардные ставки являются мартингалами в собственной форвардной мере, поэтому в этой мере описываются уравнением без дрифта

${\displaystyle dF_{j}(t)=F_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW_{j}^{Q^{T_{j}}}(t)}$

Процесс плотности замены меры на ${\displaystyle {Q^{T_{p}}}}$ пропорционален ${\displaystyle P(t,T_{j})/P(t,T_{p})}$, поэтому для логарифма процесса плотности имеем:

${\displaystyle \ln z=\ln {\frac {P(t,T_{j})}{P(t,T_{p})}}=\sum _{k=j+1}^{p}\ln {\frac {P(t,T_{k-1})}{P(t,T_{k})}}=\sum _{k=j+1}^{p}\ln(1+F_{k}\tau _{k})}$

Тогда для трендовой составляющей имеем

${\displaystyle d\ln F_{j}d\ln z=-d\ln F_{j}\sum _{k=j+1}^{p}{\frac {\tau _{k}dF_{k}}{1+F_{k}\tau _{k}}}=-{\sigma }_{j}dW_{j}^{Q^{T_{j}}}\sum _{k=j+1}^{p}{\frac {\tau _{k}F_{k}{\sigma }_{k}dW_{k}^{Q^{T_{k}}}}{1+F_{k}\tau _{k}}}=-\sum _{k=j+1}^{p}{\frac {\tau _{k}F_{k}{\sigma }_{k}{\sigma }_{j}\rho _{kj}}{1+F_{i}\tau _{i}}}dt}$

поэтому процесс форвардной ставки в новой мере будет иметь вид

${\displaystyle dF_{j}(t)=F_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW_{j}^{Q^{T_{p}}}(t)-F_{j}(t)\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta F_{k}(t)}{1+\delta F_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt}$

См. также

• Модель HJM
• Форвардная процентная ставка
• Форвардная мера
• Замена вероятностной меры