Модель Рамсея — Касса — Купманса

Фрэнк Пламптон Рамсей

Тьяллинг Чарльз Купманс

Модель Рамсея — Касса — Купманса (модель Рамсея, неоклассическая модель экономического роста, англ. Ramsey—Cass—Koopmans model) — неоклассическая модель экзогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции. Внесла вклад в понимание того, каким образом решения индивидов формируют норму сбережений в экономике. Оптимальная динамика потребления из модели (правило Кейнса — Рамсея) оказалась удачной заменой экзогенной норме сбережений и затем применялась и в более поздних моделях экономического роста. Вместе с тем, модель не даёт удовлетворительного объяснения межстрановым различиям в уровне дохода на душу населения. Разработана одновременно и независимо друг от друга Тьяллингом Купмансом и Дэвидом Кассом^[англ.] с использованием идей Фрэнка Рамсея в 1963 году.

История создания

В первых моделях экономического роста (модель Солоу, модель Харрода — Домара) использовались экзогенно задаваемые параметры: «норма сбережений» и «темп научно-технического прогресса», от которых, в конечном итоге, и зависят темпы роста экономики. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с нормой сбережений имели ряд недостатков. Эти модели не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. Для объяснения нормы сбережений как следствия решений экономических агентов, исследователи обратились к работе Фрэнка Рамсея «Математическая теория сбережений»^[1], опубликованной в The Economic Journal^[англ.] ещё в декабре 1928 года. В ней была выведена межвременная функция полезности потребителя и найдено условие оптимального выбора потребителя. Используя идеи Фрэнка Рамсея, будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Тьяллинг Купманс в работе «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала», опубликованной как «работа для обсуждения» в Йельском университете 6 декабря 1963 года^[2], и изданной в более подробной версии в сборнике The Econometric Approach to Development Planning в 1965 году^[3], и Дэвид Касс^[англ.] в работе «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала», изданной в июле 1965 года в журнале The Review of Economic Studies^{[англ.][4]} представили модель Рамсея — Касса — Купманса^[5][6][7][8] (также известную как модель Рамсея^[5][6][9], неоклассическая модель экономического роста^[5]), главной особенностью которой стало определение нормы сбережений в ходе решения задач оптимизации потребителями и фирмами, взаимодействующими в условиях совершенной конкуренции^[5][6].

Работы Дэвида Касса и Тьяллинга Купманса фактически излагают одинаковую модель (за исключением условия трансверсальности, введенного Кассом). Хотя работа Касса опубликована позже и в ней есть ссылка на работу Купманса^[4], при этом Купманс, в свою очередь, в изданной полной версии работы, в которой также появляется условие трансверсальности, ссылается на диссертацию Касса^[3]. Оба исследователя предполагали, что пришли к этой модели «одновременно и независимо друг от друга». Подробно история с названием данной модели изложена в работе Стивена Спира и Уоррена Янга «Оптимальные сбережения и оптимальный рост: модель Рамсея — Малинво — Купманса»^[10]. В ней авторы отмечают вклад Эдмона Малинво, который сформулировал условие трансверсальности раньше Касса, однако не применил его к рассматриваемой модели.

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт ${\displaystyle Y}$, используемый, как для потребления ${\displaystyle C}$, так и для инвестиций ${\displaystyle I}$. Темпы технологического прогресса ${\displaystyle g}$, роста населения ${\displaystyle n}$ и норма выбытия капитала ${\displaystyle \delta }$ — постоянны и задаются экзогенно. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время ${\displaystyle t}$ изменяется непрерывно^{[3][4][11][12]}.

Доходы индивида состоят из заработной платы ${\displaystyle w_{t}}$ и поступлений от активов ${\displaystyle ra_{t}}$. Активы индивида ${\displaystyle a_{t}}$ могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка ${\displaystyle r_{t}}$ по доходам с активов и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых^[13]:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0}$,

где ${\displaystyle a_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}}}=k_{t}}$ — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида ${\displaystyle a}$ совпадает с запасом капитала на одного работающего ${\displaystyle k}$.

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт и импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: ${\displaystyle S=I}$, ${\displaystyle Y=C+I}$^[14].

Производственная функция ${\displaystyle Y(K,L,E)}$ удовлетворяет неоклассическим предпосылкам^[15][16]:

1) технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): ${\displaystyle Y_{t}=Y(K_{t},L_{t}E_{t}),E_{t}=e^{gt},g=const}$.

2) в производственной функции используются труд ${\displaystyle L}$ и капитал ${\displaystyle K}$, она обладает постоянной отдачей от масштаба: ${\displaystyle Y(aK,aLE)=aY(K,LE)}$.

3) предельная производительность факторов положительная и убывающая: ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}<0,{\frac {\partial Y}{\partial L}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial L^{2}}}<0}$.

4) производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: ${\displaystyle \lim _{K\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial L}}=+\infty ,\lim _{K\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial L}}=0}$.

5) для производства необходим каждый фактор: ${\displaystyle Y(K,0)=Y(0,LE)=0}$.

Население ${\displaystyle L_{t}}$, равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом ${\displaystyle n}$^[17]: ${\displaystyle L_{t}=e^{nt},n=const}$^[17].

Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (в единицах товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя имеет вид^[17][2]:

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }u(c_{t})e^{-(\rho -n)t}dt}$,

где ${\displaystyle c_{t}={\frac {C_{t}}{L_{t}}}}$ — потребление на душу населения в момент времени ${\displaystyle t}$; ${\displaystyle \rho }$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя,${\displaystyle \rho >0,\rho =const}$.

Функция полезности ${\displaystyle u(c_{t})}$ является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям ${\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0}$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю)^[18][4]: ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty ;\lim _{c\to \infty }u'(c)=0}$.

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу труда ${\displaystyle y={\frac {Y}{L}}}$, выпуск на единицу эффективного труда ${\displaystyle {\hat {y}}={\frac {Y}{LE}}}$, запас капитала на единицу эффективного труда ${\displaystyle {\hat {k}}={\frac {K}{LE}}}$, потребление на единицу эффективного труда ${\displaystyle {\hat {c}}={\frac {C}{LE}}}$^[19].

Задача потребителя

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). Население растет темпом ${\displaystyle n}$, поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшается на ${\displaystyle na_{t}}$. Таким образом, производная активов по времени ${\displaystyle {\dot {a}}}$, выступающая в качестве бюджетного ограничения индивида, имеет вид^[20]:

${\displaystyle {\dot {a}}=w_{t}+r_{t}a_{t}-c-na_{t}}$.

Задача потребителя заключается в максимизации полезности ${\displaystyle U}$ при бюджетном ограничении и при ограничении на отсутствие схемы Понци. Поскольку бюджетное ограничение представлено как производная по времени, то задача потребителя представлена в виде задачи динамической оптимизации. Её решение можно найти путём построения функция Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина^[21][22].

Нахождение максимума функции Гамильтона

Функция Гамильтона выглядит следующим образом:

${\displaystyle H=u(c)e^{-(\rho -n)t}+\lambda _{t}(w_{t}+r_{t}a_{t}-c-na_{t})}$

при условии:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0}$.

Условие максимума первого порядка: ${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial c}}=u'(c)e^{-(\rho -n)t}-\lambda _{t}=0}$.

Фазовая координата (сопряжённое уравнение): ${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial a}}=(r_{t}-n)\lambda _{t}=-{\dot {\lambda }}}$, где ${\displaystyle {\dot {\lambda }}}$ — производная ${\displaystyle \lambda }$ по времени.

Условие трансверсальности (при невыполнении которого найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой): ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\lambda _{t}a_{t}=0}$, где ${\displaystyle \lambda _{t}}$ представляют собой теневые цены^[англ.] активов^[21] (теневые цены учитывают внешние эффекты в стоимости товаров, если фирмы и потребители принимают решения в соответствии со структурой цен, пропорциональной теневой, то в экономике достигается оптимальное по Парето состояние). В данном случае условие трансверсальности совпадает с ограничением на отсутствие схемы Понци^[13][23].

Искомое решение имеет вид^[24][25]:

${\displaystyle r_{t}-n=\rho -n-{\biggl (}{\frac {u''(c)}{u'(c)}}c{\biggr )}{\frac {\dot {c}}{c}}}$,

где ${\displaystyle {\dot {c}}}$ — производная потребления по времени, ${\displaystyle {\frac {u''(c)}{u'(c)}}c}$ — эластичность предельной полезности по потреблению.

Поскольку для дальнейшего анализа необходимо, чтобы эта величина была постоянной, вводится дополнительная предпосылка о виде функции полезности: в качестве неё используют функцию с постоянной эластичностью замещения^[26]:

${\displaystyle u(c)={\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}}$.

В таком случае, ${\displaystyle {\frac {u''(c)}{u'(c)}}c=-{\theta }}$, а значит^[25]:

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho )}$,

где ${\displaystyle {\dot {c}}}$ — производная потребления на душу населения по времени.

Найденное решение называется правилом Кейнса — Рамсея. Оно было получено Фрэнком Рамсеем, а содержательную интерпретацию ему дал Джон Кейнс^[1][27].

Задача фирмы

Производственную функцию ${\displaystyle Y=f(K,LE)=f({\hat {k}})LE}$ можно записать через удельные показатели: ${\displaystyle {\hat {y}}=f({\hat {k}})}$. Задача фирмы состоит в максимизации прибыли ${\displaystyle \pi }$^[28]:

${\displaystyle \pi =f(K_{t},L_{t}E_{t})-(r+\delta )K_{t}-wL_{t}=L_{t}E_{t}{\biggl (}f({\hat {k_{t}}})-(r+\delta ){\hat {k_{t}}}-{\frac {w}{E_{t}}}{\biggr )}\rightarrow \max }$

Поскольку фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции, то предельные производительности факторов производства равны их ценам^[15][28]:

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial K}}=f'({\hat {k_{t}}})=r_{t}+\delta }$,

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial L}}=(f({\hat {k_{t}}})-{\hat {k_{t}}}f'({\hat {k_{t}}}))e^{gt}=w_{t}}$.

Общее экономическое равновесие

Модель Рамсея — Касса — Купманса, фазовая плоскость

Модель Рамсея — Касса — Купманса, динамика нормы сбережений

Учитывая, что ${\displaystyle a=k}$, подставив полученные из решения задачи фирмы значения ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle w}$ в уравнение динамики активов, получим^[29]:

${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=f({\hat {k_{t}}})-{\hat {c}}-(\delta +n+g){\hat {k_{t}}}}$.

Поскольку ${\displaystyle {\frac {\dot {\hat {c}}}{\hat {c}}}={\frac {\dot {c}}{c}}-g}$^[30], решение задачи потребителя можно записать в следующем виде^[31]:

${\displaystyle {\frac {\dot {\hat {c}}}{\hat {c}}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho -g\theta )={\frac {1}{\theta }}(f'({\hat {k_{t}}})-\delta -\rho -\theta g{\biggr )}}$.

В стационарном состоянии ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}={\dot {\hat {k}}}={\dot {\hat {y}}}=0}$. Откуда, получаем, что ${\displaystyle f'({\hat {k_{t}}})=\delta +\rho +\theta g}$. В итоге, устойчивое состояние описывается системой уравнений^[30][29]:

${\displaystyle {\begin{cases}{\hat {c}}^{*}=f({\hat {k}}^{*})-(\delta +n+g){\hat {k}}^{*},\\f'({\hat {k}}^{*})=\delta +\rho +\theta g,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle {\hat {c}}^{*}}$ — потребление, а ${\displaystyle {\hat {k}}^{*}}$ — капиталовооружённость на единицу эффективного труда в устойчивом состоянии.

По условию трансверсальности^[29]:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\biggl (}{\hat {k}}_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}({f'({\hat {k}}_{\nu })-\delta -g-n})d\nu }{\biggr )}=0}$,

откуда следует что ${\displaystyle f'({\hat {k}})>\delta +n+g}$. С учетом уравнения для ${\displaystyle {\frac {\dot {\hat {c}}}{\hat {c}}}}$, это условие означает, что для существование устойчивого состояния необходимо, чтобы ${\displaystyle \rho +\theta g>g+n}$. Также это означает, что в модели Рамсея — Касса — Купманса накопление капитала ниже, чем уровень максимизирующий потребление (модифицированное Золотое правило: ${\displaystyle {\frac {\partial f({\hat {k}}^{**})}{\partial k}}=\delta +n+g}$, где ${\displaystyle {\hat {k}}^{**}}$ — капиталовооружённость на единицу эффективного труда, соответствующая Золотому правилу), а значит, невозможна динамическая неэффективность в виде избыточного накопления капитала^[32][33].

Достижение равновесия в модели можно проиллюстрировать при помощи фазовой плоскости. Линии ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}=0}$ и ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=0}$ делят диаграмму на четыре квадранта. Слева от линии ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}=0}$ траектория капиталовооружённости идет вверх, а справа от линии ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}=0}$ — вниз. Выше линии ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=0}$ траектория капиталовооружённости идет влево, а ниже линии ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=0}$ — вправо. Таким образом, в квадранте I траектория идет влево и вверх, в квадранте II — влево и вниз, в квадранте III — вправо и вниз, в квадранте IV — вправо и вверх. В итоге, в модели существует только одна траектория, ведущая к равновесию — зеленая линия на иллюстрации. На этой линии расположено множество точек ${\displaystyle {\hat {c}}_{0}}$ и ${\displaystyle {\hat {k}}_{0}}$, из которых система приходит в устойчивое состояние. Варианты траектории из других точек показаны красным, в этом случае в конечном итоге становится равной нулю либо капиталовооружённость (${\displaystyle {\hat {k}}=0}$), либо потребление (${\displaystyle {\hat {c}}=0}$)^[34]. Поскольку оптимальная траектория капиталовооружённости в модели имеет вид седла, её также называют «седловой путь»^[35].

Динамика нормы сбережений по мере приближения к равновесному состоянию также показана на иллюстрации.

В рассматриваемой модели равновесия для централизованной и децентрализованной экономики одинаковы^[36].

Конвергенция

Модель предполагает наличие условной конвергенции, то есть, что страны с малым уровнем капиталовооружённости будут расти более высокими темпами, чем страны с большим уровнем капиталовооружённости ${\displaystyle k}$, при условии, что устойчивое состояние у них одинаково. Скорость приближения к устойчивому состоянию можно оценить при помощи линейной аппроксимации посредством разложения в ряд Тейлора дифференциальных уравнений для ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}}$ и ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}}$^[37]:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\hat {c}}}\approx {\frac {\partial {\dot {\hat {c}}}}{\partial {\hat {k_{t}}}}}\vert _{{\hat {k_{t}}}={\hat {k}}^{*}}({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*})+{\frac {\partial {\dot {\hat {c}}}}{\partial {\hat {c_{t}}}}}\vert _{{\hat {c_{t}}}={\hat {c}}^{*}}({\hat {c_{t}}}-{\hat {c}}^{*}),\\{\dot {\hat {k}}}\approx {\frac {\partial {\dot {\hat {k}}}}{\partial {\hat {k_{t}}}}}\vert _{{\hat {k}}={\hat {k}}^{*}}({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*})+{\frac {\partial {\dot {\hat {k}}}}{\partial {\hat {c}}_{t}}}\vert _{{\hat {c_{t}}}={\hat {c}}^{*}}({\hat {c_{t}}}-{\hat {c}}^{*}).\end{cases}}}$

Из условий устойчивости следует, что угловой коэффициент у второго слагаемого (${\displaystyle c_{t}-{\hat {c}}^{*}}$) во втором уравнении равен -1, а в первом — 0. Используя уравнения устойчивого состояния, можно записать линейные аппроксимации в следующем виде^[38]:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\hat {c}}}\approx {\frac {f''({\hat {k}}^{*}){\hat {c}}}{\theta }}({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*}),\\{\dot {\hat {k}}}\approx (\rho +\theta g-g)({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*})-({\hat {c_{t}}}-{\hat {c}}^{*}).\end{cases}}}$

Решение этой системы уравнений имеет вид^[38]:

${\displaystyle {\begin{cases}{\hat {k}}_{t}-{\hat {k}}^{*}=({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})e^{\mu t},\\{\hat {c}}_{t}-{\hat {c}}^{*}=({\hat {c}}_{0}-{\hat {c}}^{*})e^{\mu t},\end{cases}}}$

где ${\displaystyle \mu }$ — коэффициент, характеризующий скорость конвергенции.

Расчеты скорости конвергенции по модели Рамсея — Касса — Купманса с использованием параметров, близких к параметрам экономики США, предсказывают высокую скорость конвергенции, не наблюдаемую на реальных данных^[39].

Фискальная политика в модели

Модель Рамсея — Касса — Купманса, фазовая плоскость, фискальная политика

Модель позволяет оценить влияние фискальной политики на равновесие. Предполагается, что величина налогов предполагается равной величине государственных расходов, которые не влияют на полезность индивидов и будущий выпуск. В этом случае уравнение для ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}}$ примет следующий вид^[40]:

${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=f({\hat {k_{t}}})-{\hat {c}}-{\hat {G}}-(\delta +n+g){\hat {k_{t}}}}$,

где ${\displaystyle {\hat {G}}}$ — величина государственных расходов на единицу труда с постоянной эффективностью.

В результате фискальной политики кривая ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=0}$ сдвигается вниз на величину ${\displaystyle {\hat {G}}}$ и равновесие в модели устанавливается на прежнем уровне капиталовооружённости, но потребление снизится на величину ${\displaystyle {\hat {G}}}$. Таким образом, в модели государственные расходы вытесняют потребление^[41].

Влияние фискальной политики на равновесие проиллюстрировано при помощи фазовой плоскости.

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

Наиболее важный вклад модели Рамсея — Касса — Купманса состоит в том, что она раскрыла механизм формирования нормы сбережений через решения потребителей, а также стала основой для дальнейшего анализа того, как решения индивидов формируют накопления физического и человеческого капитала, и как следствие, научно-технический прогресс. Это стало большим шагом вперёд по сравнению с моделью Солоу, и во многом по этой причине модель стала отправной точкой для многих исследователей, которые использовали её концептуальный и математический аппарат для построения своих моделей^[42]. Неоклассическая модель экономического роста рассматривается во всех современных учебниках макроэкономики и теории экономического роста^[43].

Оптимальная динамика потребления из модели (правило Кейнса — Рамсея) оказалась удачной заменой экзогенной норме сбережений и затем применялась и в более поздних моделях экономического роста, где в качестве экономического агента выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство): в АК-модели, модели обучения в процессе деятельности, модели Удзавы — Лукаса, модели растущего разнообразия товаров^[42].

Включение в модель внешних эффектов от уровня физического и человеческого капитала (для чего в некоторых случаях пришлось отказаться от 2, 3 и 4 предпосылки неоклассической производственной функции) привело к развитию АК-моделей^[44].

Мигель Сидрауски добавил в модель денежную массу, чтобы проанализировать влияние денежной эмиссии и инфляции на реальные показатели в экономике. В итоге в расширенной модели равновесие получилось таким же, как и в модели без денежной массы, что означает отсутствие влияния предложения денег на реальные показатели. Полученное свойство было названо нейтральностью денег^[45].

В качестве недостатка модели некоторые исследователи указывали бесконечно живущего индивида (или домохозяйство) в качестве вечного потребителя^[46]. По мере взросления характер потребительского поведения меняется. Если в молодом возрасте индивид работает и делает сбережения, то в старости он эти сбережения тратит^[47]. Этот факт был отражен в модели пересекающихся поколений, которая полностью отрицает альтруистические связи между поколениями^[48][46].

Вместе с тем, модель не внесла существенного вклада в понимание причин межстрановых различий в уровне ВВП на душу населения и темпах его роста. Модель предполагает наличие условной конвергенции, что означает, что бедные страны должны расти быстрее богатых при условии схожести структурных параметров, но в реальности этого не происходит, как показали, например, исследования Р. Холла и Ч. Джонса^[49], Дж. Де Лонга^[50], П. Ромера^[51]. Есть лишь единичные примеры (японское экономическое чудо, корейское экономическое чудо) когда бедные страны смогли догнать богатые по уровню ВВП на душу населения, в большинстве своём сближения уровня развития не происходит^[52]. Также, как и в модели Солоу, научно-технический прогресс в модели Рамсея — Касса — Купманса не является следствием принятия решений экономическими агентами, а задается экзогенно^[43].

В модели невозможна динамическая неэффективность, решения для централизованной и децентрализованной экономики одинаковы, а значит невозможно неоптимальное по Парето равновесие в экономике, потому модель не показывает, как неправильная экономическая политика или ограничивающие социальные институты могут замедлить развитие страны. Другими словами, модель не объясняет причин, по которым бедные страны остаются бедными и не могут догнать богатые^[43].

Примечания

1. Ramsey F., 1928.
2. Koopmans, 1963.
3. Koopmans T., 1965.
4. Cass, 1965.
5. Аджемоглу, 2018, с. 437.
6. Туманова, Шагас, 2004, с. 228.
7. Барро, Сала-и-Мартин, 2010, с. 115.
8. Ромер Д., 2014, с. 75.
9. Palgrave (Newbery), 2018, с. 11172—11178.
10. Spear, Young, 2014.
11. Аджемоглу, 2018, с. 437—445.
12. Туманова, Шагас, 2004, с. 228—229.
13. Аджемоглу, 2018, с. 445.
14. Туманова, Шагас, 2004, с. 187.
15. Туманова, Шагас, 2004, с. 233.
16. Аджемоглу, 2018, с. 36—47.
17. Аджемоглу, 2018, с. 438.
18. Туманова, Шагас, 2004, с. 229.
19. Аджемоглу, 2018, с. 91.
20. Аджемоглу, 2018, с. 440.
21. Туманова, Шагас, 2004, с. 230.
22. Аджемоглу, 2018, с. 447.
23. Palgrave (Kamihigashi), 2018, с. 13860.
24. Туманова, Шагас, 2004, с. 231.
25. Аджемоглу, 2018, с. 449.
26. Туманова, Шагас, 2004, с. 232.
27. Туманова, Шагас, 2004, с. 230—231.
28. Аджемоглу, 2018, с. 439.
29. Аджемоглу, 2018, с. 472.
30. Туманова, Шагас, 2004, с. 237.
31. Аджемоглу, 2018, с. 471.
32. Туманова, Шагас, 2004, с. 235.
33. Аджемоглу, 2018, с. 473.
34. Аджемоглу, 2018, с. 461.
35. Туманова, Шагас, 2004, с. 241.
36. Туманова, Шагас, 2004, с. 236—237.
37. Туманова, Шагас, 2004, с. 245—246.
38. Туманова, Шагас, 2004, с. 246.
39. Туманова, Шагас, 2004, с. 247.
40. Туманова, Шагас, 2004, с. 248.
41. Туманова, Шагас, 2004, с. 248—249.
42. Аджемоглу, 2018, с. 484.
43. Аджемоглу, 2018, с. 485.
44. Аджемоглу, 2018, с. 597—598.
45. Sidrauski, 1967.
46. Аджемоглу, 2018, с. 501.
47. Туманова, Шагас, 2004, с. 252.
48. Туманова, Шагас, 2004, с. 253.
49. Hall, Jones, 1996.
50. De Long, 1988.
51. Romer P. M., 1989.
52. Аджемоглу, 2018, с. 698.

Литература

• Асемоглу Д. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9.
• Барро Р. Д., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост / Пер. с англ.. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Бланшар О. Ж., Фишер С. Лекции по макроэкономике = Lectures on macroeconomics. — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2014. — 680 с. — ISBN 978-5-7749-0829-5.
• Ромер Д. Высшая макроэкономика = Advanced Macroeconomics. — М.: Изд. дом ВШЭ, 2014. — 855 с. — ISBN 978-5-7568-0406-2.
• Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6.
• Cass D.^[англ.]. Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation // The Review of Economic Studies^[англ.]. — 1965. — Vol. 32, № 3. — P. 233—240.
• De Long J. B. Productivity Growth, Convergence, and Welfare: Comment // The American Economic Review^[англ.]. — 1988. — Vol. 78, № 5. — P. 1138—1154.
• Hall R. E., Jones C. I. The Productivity of Nations // NBER Working Paper. — 1996. — № 5812. — doi:10.3386/w5812.
• Kamihigashi T. Transversality Conditions and Dinamic Economic Behaviour // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — L.: Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 13858—13862. — ISBN 978-1-349-95188-8.
• Koopmans T.C. On the concept of optimal economic growth // Cowles Foundation for Research in Economics, Yale University, Discussion Paper. — 1963. — № 163.
• Koopmans T.C. On the concept of optimal economic growth // Pontificiae Academiae Scientiarum Scripta varia //The Econometric Approach to Development Planning - Part I. — 1965. — Vol. 28. — P. 225—300.
• Newbery D. M.^[англ.]. Ramsey Model // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — L.: Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 11172—11178. — ISBN 978-1-349-95188-8.
• Ramsey F. P. A mathematical theory of saving // The Economic Journal^[англ.]. — 1928. — Vol. 38, № 152. — P. 543—559.
• Romer P. M. Human Capital And Growth: Theory and Evidence // NBER Working paper. — 1989. — № 3173. — doi:10.3386/w3173.
• Sidrauski M. Rational Choice and Patterns of Growth in a Monetary Economy (англ.) // The American Economic Review^[англ.] : journal. — 1967. — Vol. 57, no. 2. — P. 534—544.
• Spear S. E., Young W. Optimum savings and optimal growth: Ramsey — Mavlinvaud — Koopmans nexus // Macroeconomic Dynamics^[англ.]. — 2014. — Vol. 18, № 1. — P. 215—243. — doi:10.1017/S1365100513000291.