Неприводимое представление

Неприводимое представление ${\displaystyle (\rho ,V)}$ алгебраической структуры ${\displaystyle A}$ — это ненулевое представление, которое не имеет собственного подпредставления ${\displaystyle (\rho |_{W},W),W\subset V}$, замкнутого по ${\displaystyle \{\rho (a):a\in A\}}$.

Любое конечномерное унитарное представление^[англ.] на эрмитовом векторном пространстве ${\displaystyle V}$^[1] является прямой суммой неприводимых представлений. Поскольку неприводимые представления всегда неразложимы (то есть не могут быть разложены далее на прямую сумму представлений), эти термины часто путаются. Однако, в общем случае, существует много приводимых, но неразложимых представлений, таких как двумерное представление вещественных чисел, действующее посредством верхних треугольных унипотентных матриц.

История

Теорию представления групп обобщил Ричард Брауэр в 1940-х годах, дав модульную теорию представления^[англ.], в которой матричные операции действуют на векторном пространстве над полем ${\displaystyle K}$ с произвольной характеристикой, а не векторное пространство над полем вещественных чисел или над полем комплексных чисел. Структура, аналогичная неприводимому представлению в получающейся теории, — это простой модуль.

Обзор

См. также: Представление группы

Пусть ${\displaystyle \rho }$ будет представлением, то есть гомоморфизмом ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ группы ${\displaystyle G}$, где ${\displaystyle V}$ является векторным пространством над полем ${\displaystyle F}$. Если мы выберем базис ${\displaystyle B}$ для ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \rho }$ можно считать функцией (гомоморфизмом) из группы в множество обратимых матриц и в этом контексте представление называется матричным представлением. Однако всё сильно упрощается, если мы рассматриваем пространство ${\displaystyle V}$ без базиса.

Линейное подпространство ${\displaystyle W\subset V}$ называется ${\displaystyle G}$-инвариантом, если ${\displaystyle \rho (g)w\in W}$ для всех ${\displaystyle g\in G}$ и всех ${\displaystyle w\in W}$. сужение ${\displaystyle \rho }$ на ${\displaystyle G}$-инвариантное подпространство ${\displaystyle W\subset V}$ известно как подпредставление. Говорят, что представление ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ неприводимо, если оно имеет лишь тривиальные подпредставления (все представления могут образовать подпредставление с тривиальными ${\displaystyle G}$-инвариантными подпредставлениями, например, со всем векторным пространством ${\displaystyle V}$ и {0}). Если существует собственное нетривиальное инвариантное подпространство ${\displaystyle \rho }$, говорят, что представление приводимо.

Обозначения и терминология представления групп

Элементы группы могут быть представлены матрицами, хотя термин «представлена» имеет специфичное и точное значение в данном контексте. Представление группы — это отображение из элементов группы в полную линейную группу матриц. Пусть a, b, c... означают элементы группы G с групповым произведением, которое не отражается каким-либо символом, то есть ab является групповым произведением a и b, которое также является элементом группы G. Пусть представления обозначаются буквой D. Представление элемента a записывается как

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

По определению представлений групп представление группового произведения переводится в умножение матриц представлений:

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

Если e является нейтральным элементом группы (так, что ${\displaystyle ae=ea=a}$), то D(e) является единичной матрицей, поскольку мы должны иметь

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

и то же самое для других элементов группы. Последние два утверждения соответствуют требованию, чтобы D было гомоморфизмом групп.

Разложимые и неразложимые представления

Представление разложимо, если подобная матрица P может быть найдена для преобразования подобия^[2]:

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P}$,

которая диагонализирует любую матрицу в представлении в диагональные блоки — каждый из блоков является представлением группы независимо друг от друга. Говорят, что представления D(a) и D′(a) эквивалентны^[3]. Представление может быть разложено в прямую сумму k матриц:

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a)}$,

так что D(a) является разложимой и обычно метки у матриц разложения пишутся в скобках, как D⁽ⁿ⁾(a) для n = 1, 2, ..., k, хотя некоторые авторы пишут числовые метки без скобок.

Размерность D(a) равна сумме размерностей блоков:

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)]}$

Если это невозможно, то есть ${\displaystyle k=1}$, то представление неразложимо^[2][4].

Примеры неприводимых представлений

Тривиальное представление

Все группы ${\displaystyle G}$ имеют одномерное неприводимое тривиальное представление. Более обще, любое одномерное представление является неприводимым ввиду отсутствия собственных нетривиальных подпространств.

Неприводимые комплексные представления

Неприводимые комплексные представления конечной группы G можно описать с помощью результатов из теории характеров. В частности, все такие представления разложимы в прямую сумму неприводимых представлений и число неприводимых представлений группы ${\displaystyle G}$ равно числу классов сопряжённости ${\displaystyle G}$^[5].

• Неприводимые комплексные представления ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ в точности задаются отображениями ${\displaystyle 1\mapsto \gamma }$, где ${\displaystyle \gamma }$ является ${\displaystyle n}$-м корнем из единицы.
• Пусть ${\displaystyle V}$ будет ${\displaystyle n}$-мерным комплексным представлением ${\displaystyle S_{n}}$ с базисом ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$. Тогда ${\displaystyle V}$ разлагается как прямая сумма неприводимых представлений

${\displaystyle V_{triv}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}$

и ортогональное подпространство задаётся формулой:

${\displaystyle V_{std}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}}$

Первое неприводимое представление является одномерным и изоморфен тривиальному представлению ${\displaystyle S_{n}}$. Второе является ${\displaystyle n-1}$ мерным и известно как стандартное представление ${\displaystyle S_{n}}$^[5].

• Пусть ${\displaystyle G}$ — группа. Регулярное представление^[англ.] группы ${\displaystyle G}$ является свободным комплексным векторным пространством с базисом ${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$ с групповым действием ${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$, обозначаемым как ${\displaystyle \mathbb {C} G.}$ Все неприводимые представления ${\displaystyle G}$ появляются в разложении ${\displaystyle \mathbb {C} G}$ как прямая сумма неприводимых представлений.

Приложения в теоретической физике и химии

См. также: Симметрия в квантовой механике и Эффект Яна — Теллера

В квантовой механике и квантовой химии каждое множество вырожденных собственных состояний гамильтонова оператора составляет векторное пространство V для представления группы симметрии гамильтониана, «мультиплет», который лучше всего изучается через сведение к неприводимым частям. Обозначения неприводимых представлений поэтому позволяет назначить метки состояниям и предсказать, как они расщепятся^[англ.] при возмущении или перейдут в другое состояние в V. Таким образом, в квантовой механике, неприводимые представления группы симметрии системы частично или полностью определяют метки уровням энергии системы, что позволяет определить правила отбора^[6].

Группы Ли

Основная статья: Теория представления групп Ли

Группа Лоренца

Основная статья: Теория представлений группы Лоренца

Неприводимые представления D(K) и D(J), где J является генератором вращений, а K является генератором бустов, могут быть использованы для построения спинорного представления^[англ.] группы Лоренца, поскольку они связаны со спиновыми матрицами^[англ.] квантовой механики. Это позволяет использовать их для вывода релятивистских волновых уравнений^{[англ.][7]}.

См. также

Ассоциативная алгебра

• Простой модуль
• Неразложимый модуль
• Представление ассоциативной алгебры^[англ.]

Группы Ли

• Представление алгебры Ли
• Теория представления группы SU(2)^[англ.]
• Теория представления группы SL2(R)^[англ.]
• Теория представления группы Галилея^[англ.]
• Теория представления диффеоморфизмов групп^[англ.]
• Теория представления группы Пуанкаре^[англ.]
• Теорема о старшем весе^[англ.]

Примечания

1. Определение Конечномерное векторное пространство над полем С, снабженное положительно определенной эрмитовой формой, называется эрмитовым пространством (Никитин 2010), (Тимофеева 2017)
2. Wigner, 1959, с. 73.
3. Tung, 1985, с. 32.
4. Tung, 1985, с. 33.
5. Serre, 1977.
6. A Dictionary of Chemistry, Answers.com  (неопр.). Oxford Dictionary of Chemistry. Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 3 марта 2016 года.
7. Jaroszewicz, Kurzepa, 1992, с. 226–267.

Литература

• Н.Д. Никитин. АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. — Пенза, 2010.
• Н. В. Тимофеева. Линейная алгебра. Современная алгебра. Часть 2. — Ярославль: ЯрГУ, 2017. — С. 52. — ISBN 978-5-8397-1118-1.
• Wigner E.P. Group theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra. — Academic press, 1959. — (Pure and applied physics).
• Tung W.K. Group Theory in Physics. — World Scientific, 1985. — ISBN 978-997-1966-560.
• Jean-Pierre Serre. Linear Representations of Finite Groups. — Springer-Verlag, 1977. — ISBN 978-0387901909.
• Tung W.K. Group Theory in Physics. — World Scientific, 1985. — С. 32. — ISBN 978-997-1966-560.
• T. Jaroszewicz, P.S Kurzepa. Geometry of spacetime propagation of spinning particles // Annals of Physics. — 1992. — Т. 216, вып. 2. — С. 226–267. — doi:10.1016/0003-4916(92)90176-M. — Bibcode: 1992AnPhy.216..226J.

Книги

• H. Weyl. The theory of groups and quantum mechanics. — Courier Dover Publications, 1950. — С. 203. — ISBN 978048660269.
• Boardman A. D., O'Conner D. E., Young P. A. Symmetry and its applications in science. — McGraw Hill, 1973. — ISBN 978-0-07-084011-9.
• Heine V. Group theory in quantum mechanics: an introduction to its present usage. — Dover, 2007. — ISBN 978-0-07-084011-9.
• Heine V. Group Theory in Quantum Mechanics: An Introduction to Its Present Usage. — Courier Dover Publications, 1993. — ISBN 978-048-6675-855.

• Abers E. Quantum Mechanics. — Addison Wesley, 2004. — С. 425. — ISBN 978-0-13-146100-0.
• Martin B. R., Shaw G. Particle Physics. — 3rd. — Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. — С. 3. — ISBN 978-0-470-03294-7.
• Weinberg S. The Quantum Theory of Fields. — Cambridge university press, 1995. — Т. 1. — С. 230–231. — ISBN 978-0-521-55001-7.
• Weinberg S. The Quantum Theory of Fields. — Cambridge university press, 1996. — Т. 2. — ISBN 978-0-521-55002-4.
• Weinberg S. The Quantum Theory of Fields. — Cambridge university press, 2000. — Т. 3. — ISBN 978-0-521-66000-6.
• Penrose R. The Road to Reality. — Vintage books, 2007. — ISBN 978-0-679-77631-4.
• Atkins P. W. Molecular Quantum Mechanics (Parts 1 and 2): An introduction to quantum chemistry. — Oxford University Press, 1970. — Т. 1. — С. 125–126. — ISBN 978-0-19-855129-4.

Статьи

• Bargmann V., Wigner E. P. Group theoretical discussion of relativistic wave equations // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.. — 1948. — Т. 34, вып. 5. — С. 211–23. — doi:10.1073/pnas.34.5.211. — Bibcode: 1948PNAS...34..211B. — PMID 16578292. — PMC 1079095.
• Wigner E. On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group // Annals of Mathematics. — 1937. — Т. 40, № 1. — С. 149. — doi:10.2307/1968551. — Bibcode: 1989NuPhS...6....9W. — JSTOR 1968551.

Литература для дальнейшего чтения

• Artin, Michael. Noncommutative Rings  (неопр.) (1999). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 24 февраля 2021 года.

Ссылки

• Commission on Mathematical and Theoretical Crystallography, Summer Schools on Mathematical Crystallography  (неопр.). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 4 августа 2016 года.
• van Beveren, Eef. Some notes on group theory  (неопр.) (2012). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано из оригинала 20 мая 2011 года.
• Teleman, Constantin. Representation Theory  (неопр.) (2005). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 21 сентября 2019 года.
• Finley. Some Notes on Young Tableaux as useful for irreps of su(n)  (неопр.). (недоступная ссылка)
• Hunt. Irreducible Representation (IR) Symmetry Labels  (неопр.) (2008). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 15 февраля 2020 года.
• Dermisek, Radovan. Representations of Lorentz Group  (неопр.) (2008). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано из оригинала 23 ноября 2018 года.
• Maciejko, Joseph. Representations of Lorentz and Poincaré groups  (неопр.) (2007). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 25 октября 2017 года.
• Woit, Peter. Quantum Mechanics for Mathematicians: Representations of the Lorentz Group  (неопр.) (2015). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 30 марта 2019 года., см. главу 40
• Drake, Kyle; Guild, David; Turetsky, Emma; Feinberg, Michael. Representations of the Symmetry Group of Spacetime  (неопр.) (2009). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 29 августа 2017 года.
• Finley. Lie Algebra for the Poincaré, and Lorentz, Groups  (неопр.). Архивировано из оригинала 17 июня 2012 года.
• Bekaert, Xavier; Boulanger, Niclas (2006). "The unitary representations of the Poincaré group in any spacetime dimension". arXiv:hep-th/0611263.
• McGraw-Hill dictionary of scientific and technical terms  (неопр.). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 3 марта 2016 года.