Неравенство Адамара

Нера́венство Адама́ра (также теорема Адамара об определителях^[1]), определяет верхнюю границу объёма тела в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве, заданного ${\displaystyle n}$ векторами. Названо в честь Жака Адамара.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle v_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\;i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$, а ${\displaystyle M}$ — матрица, столбцами которой являются векторы ${\displaystyle v_{i}:i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$. Тогда

${\displaystyle |\det(M)|\leqslant \prod _{i=1}^{n}{||v_{i}||}_{2},}$

где ${\displaystyle {||\cdot ||}_{2}}$ — евклидова норма вектора.

Другими словами, с точки зрения геометрии объём ${\displaystyle n}$-мерного тела максимален, когда задающие его векторы взаимно перпендикулярны.

Лемма

Докажем сначала небольшую лемму:

Если матрица ${\displaystyle A}$ размерности ${\displaystyle n\times n}$ положительно определённая, то

${\displaystyle |A|\leqslant a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}.}$

Доказательство леммы

Определитель ${\displaystyle |A|}$ можно представить в виде

${\displaystyle |A|=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}.}$

Так как ${\displaystyle A}$ положительно определённая, то и матрица, которая является первым слагаемым в сумме, тоже положительно определённая, следовательно, квадратичная форма по переменным ${\displaystyle a_{12},\;a_{13},\;\ldots ,\;a_{1n}}$, каковой является второе слагаемое, не является положительно определенной. В силу этого

${\displaystyle |A|\leqslant a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}.}$

Отсюда, применяя индукцию, получаем требуемый результат.

Доказательство неравенства Адамара

Для доказательства неравенства Адамара нужно применить доказанную лемму к положительно определённой квадратной матрице вида ${\displaystyle A=MM^{T}}$.

Матрицы, определители которых достигают границы Адамара

В комбинаторикe матрицы с элементами из ${\displaystyle \{+1,\;-1\}}$, для которых в неравенстве Адамара выполняется равенство, называются матрицами Адамара. Таким образом, определитель таких матриц по модулю равен ${\displaystyle n^{\frac {n}{2}}}$. Из таких матриц получают коды Адамара.

См. также

• Граница Плоткина

Примечания

1. Адамара теорема // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов. — 1977.

Литература

• R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis, SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, § 7, 1997.
• F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, Amsterdam, Netherlands, North-Holland, § 2.3, 1977.
• E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities, Berlin-Göttingen-Heidelberg, Germany, Ch. 2, § 11, 1961.