Неравенство Бишопа — Громова — теорема сравнения в римановой геометрии.
Является ключевым утверждением в доказательстве теоремы Громова о компактности[1].
Неравенство названо в честь Ричарда Бишопа и Михаила Громова.
Пусть — полное n-мерное риманово многообразие с ограниченной снизу кривизной Риччи, то есть
для постоянной .
Обозначим через шар радиуса r вокруг точки p, определенный по отношению к римановой функции расстояния.
Пусть обозначает n-мерное модельное пространство.
То есть — полное n-мерное односвязное пространство постоянной секционной кривизны .
Таким образом,
Тогда для любых и функция
не возрастает в интервале .
- При неравенство можно записать следующим образом
- при .
- Если r стремится к нулю, то соотношение приближается к единице, так что вместе с монотонностью это означает, что
- Это неравенство иногда называется неравенством Бишопа; оно было доказано Бишопом[2][3].
- ↑ Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Введение в риманову геометрию 1991, с. 320, (22.5)
- ↑ Bishop, R. A relation between volume, mean curvature,
and diameter. Amer. Math. Soc. Not. 10 (1963), p. 364.
- ↑ Bishop R.L., Crittenden R.J. Geometry of manifolds, Corollary 4, p. 256