Неравенство Джексона — Стечкина

Неравенство Джексона — Стечкина связывает величину наилучшего приближения функции каким-либо классом функций со свойствами этой функции, как правило со значением модуля непрерывности этой функции в определенной точке. Пример:

${\displaystyle E_{n}(f)_{L^{2}}<K\omega _{f}(\delta ).}$

В примере величина наилучшего приближения функции ${\displaystyle f}$ полиномами степени ${\displaystyle n}$ в пространстве ${\displaystyle L^{2}}$ оценивается сверху через значение модуля непрерывности функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle \delta }$. Величина ${\displaystyle K}$ называется константой Джексона. Вопрос о наименьшем значении этой величины (о «точной константе Джексона»), как правило, очень труден. В тех случаях, когда он разрешим, минимальная константа ${\displaystyle \delta }$, при которой неравенство остается справедливым, называется точкой Черных, нахождение которой также является нетривиальным.

История

Впервые неравенство такого типа было получено Д. Джексоном (англ. Dunham Jackson) в 1911 году для случая приближения периодических функций тригонометрическими полиномами. Он показал, что

${\displaystyle E_{n}(f)\leqslant c\omega \left(f,\;{\frac {1}{n}}\right)}$

и

${\displaystyle E_{n}(f)\leqslant {\frac {c_{r}}{n^{r}}}\omega \left(f^{(r)},\;{\frac {1}{n}}\right).}$

Здесь ${\displaystyle E_{n}(f)}$ есть величина наилучшего приближения функции ${\displaystyle f}$ в равномерной метрике тригонометрическими полиномами степени ${\displaystyle n-1}$. В первом неравенстве функция ${\displaystyle f}$ предполагается непрерывной, а во втором — ${\displaystyle r}$-раз дифференцируемой.

В 1945 году Зигмунд получил подобные неравенства с использованием модуля непрерывности второго порядка, в 1947 году академик С. Н. Бернштейн смог использовать модуль непрерывности порядка ${\displaystyle k}$. В 1949 году С. Б. Стечкин обобщил все предыдущие результаты и установил (отличным от Джексона методом), что

${\displaystyle E_{n}(f)\leqslant c_{k}\omega _{k}\left(f,\;{\frac {1}{n}}\right)}$

и

${\displaystyle E_{n}(f)\leqslant {\frac {c_{k+r}}{n^{r}}}\omega _{k}\left(f^{(r)},\;{\frac {1}{n}}\right).}$

Здесь константы ${\displaystyle c_{k}}$ не зависят от ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle n}$ или ${\displaystyle r}$. В результате в отечественной литературе неравенство стало называться неравенством Джексона — Стечкина, а похожие неравенства стали называться неравенствами типа Джексона — Стечкина.

В 1961 году Н. П. Корнейчук указал точную константу Джексона в первом неравенстве:

${\displaystyle E_{n}(f)<1\cdot \omega \left(f,\;{\frac {\pi }{n}}\right).}$

В 1967 году Стечкин получил неравенство Джексона в пространствах ${\displaystyle L_{p}}$ для всех ${\displaystyle p\in [1,\;\infty )}$:

${\displaystyle E_{n}(f)_{p}<{\frac {3}{2}}\cdot \omega \left(f,\;{\frac {\pi }{n}}\right)_{p}.}$

Позднее этой тематикой занималось (и до сих пор занимаются) большое число математиков в разных странах, были получены аналогичные неравенства для разнообразных пространств, приближающих классов и модулей непрерывности.