Неравенство Лоясевича

Неравенство Лоясевича — неравенство, установленное польским математиком Станисловом Лоясевичем^[англ.], дающее верхнюю оценку для расстояния от точки произвольного компакта до множества нулевого уровня вещественной аналитической функции многих переменных. Это неравенство находит применения в различных разделах математики, в том числе, в вещественной алгебраической геометрии, в анализе, в теории дифференциальных уравнений^{[1] [2]}.

Формулировка

Пусть функция ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ является вещественно аналитической на непустом открытом множестве ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ и пусть ${\displaystyle Z=\{x\in U:f(x)=0\}}$ — множество нулей функции ${\displaystyle f}$. Если множество ${\displaystyle Z}$ непусто, то для любого непустого компакта ${\displaystyle K\subset U}$ существуют такие константы ${\displaystyle \alpha \geq 2}$ и ${\displaystyle C>0}$, что имеет место неравенство

${\displaystyle \inf _{z\in Z}|x-z|^{\alpha }\leq C|f(x)|\ \ \forall \,x\in K,}$

число ${\displaystyle \alpha }$ в котором может быть достаточно большим.

Кроме того, для любой точки ${\displaystyle p\in U}$ существует достаточно малая её окрестность ${\displaystyle W\subset U}$ и такие константы ${\displaystyle 0<\beta <1}$ и ${\displaystyle C>0}$, что имеет место второе неравенство Лоясевичаː

${\displaystyle |f(x)-f(p)|^{\beta }\leq C|\nabla f(x)|\ \ \forall \,x\in W.}$

Из второго неравенства очевидно следует, что для каждой критической точки вещественно аналитической функции существует такая окрестность, что функция принимает то же самое значение во всех критических точках из этой окрестности.

Литература

• Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi II, Lojasiewicz inequalities and applications, arXiv:1402.5087 Архивная копия от 21 января 2022 на Wayback Machine
• Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. — М.: Мир, 1968.
• Bierstone, Edward; Milman, Pierre D. (1988), "Semianalytic and subanalytic sets", Publications Mathématiques de l'IHÉS (67): 5—42, ISSN 1618-1913, MR: 972342 Архивная копия от 8 августа 2014 на Wayback Machine
• Ji, Shanyu; Kollár, János; Shiffman, Bernard (1992), "A global Łojasiewicz inequality for algebraic varieties", Transactions of the American Mathematical Society, 329 (2): 813—818, doi:10.2307/2153965, ISSN 0002-9947, JSTOR 2153965, MR: 1046016 Архивная копия от 1 ноября 2015 на Wayback Machine

Примечания

1. В.И. Арнольд, Ю.С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985.
2. Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей, УМН, 46:1(277) (1991), 3–39.