Неравенство Мюрхеда

Неравенство Мюрхеда
Названо в честь	Robert Franklin Muirhead^[вд]

Неравенство Мюрхеда позволяет сравнивать значения некоторых симметрических многочленов на одном и том же наборе неотрицательных значений аргументов.

Вводные определения

Пусть ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})}$ — упорядоченный набор целых неотрицательных чисел ${\displaystyle \alpha _{1}\leqslant \alpha _{2}\leqslant \dots \leqslant \alpha _{n}}$. Через ${\displaystyle T_{\alpha }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ будем обозначать симметрический многочлен от n переменных, который есть по определению сумма одночленов вида ${\displaystyle x_{\pi (1)}^{\alpha _{1}}x_{\pi (2)}^{\alpha _{2}}\cdots x_{\pi (n)}^{\alpha _{n}}}$ по всем перестановкам ${\displaystyle \pi }$ порядка n.

Неравенство Мюрхеда

Пусть ${\displaystyle \displaystyle \alpha =(\displaystyle \alpha _{1}^{},...,\displaystyle \alpha _{n}^{})}$ и ${\displaystyle \displaystyle \beta =(\displaystyle \beta _{1}^{},...,\displaystyle \beta _{n}^{})}$ — два набора показателей с равной суммой такие, что ${\displaystyle \alpha }$ мажорирует ${\displaystyle \beta }$, то при всех неотрицательных ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle T_{\alpha }(x_{1},\dots ,x_{n})\geqslant T_{\beta }(x_{1},\dots ,x_{n}).}$

См. также

• Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
• Дважды стохастическая матрица

Ссылки

• Неравенство Мюрхеда Архивная копия от 20 октября 2014 на Wayback Machine на сайте problems.ru
• В. В. Прасолов. Глава 11.3. Неравенства Мюрхеда // Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.