Неравенство Пу

Неравенство Пу даёт нижнюю оценку на площадь проективной плоскости с римановой метрикой через длину кратчайшей нестягиваемой замкнутой кривой. Является одним из фундаментальных утверждений систолической геометрии.

Неравенство доказал Баомин Пу в своей диссертации защищённой под руководством Чарльза Левнера

Формулировки

Оригинальная

Пусть ${\displaystyle g}$ есть риманова метрика на вещественной проективной плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$. Тогда

${\displaystyle S\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot \ell ^{2},}$

где ${\displaystyle S}$ — площадь ${\displaystyle (\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2},g)}$, a ${\displaystyle \ell }$ — его ситоль, то есть длина кратчайшей нестягиваемой кривой в ${\displaystyle (\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2},g)}$.

Более того равенство достигается только для канонической метрики с точностью до умножения на положительную постоянную.

Через филинг-объём

Филинг окружности длины ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$ диском имеет площадь не меньше чем площадь полусферы. Более того, в случае равенства диск изометричен полусфере.

Замечание

• Гипотеза Громова состоит в том, что тоже неравество выполняется для произвольных филингов (не обязательно гомеоморфных диску).

Литература

• Mikhael; Gromov. Filling Riemannian manifolds (неопр.) // J. Differential Geom.. — 1983. — Т. 18, № 1. — С. 1—147.
• Gromov, Mikhael (1996). Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992). Vol. 1. pp. 291–362. MR 1427752.
• Gromov, Misha. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces (англ.). — 1999. — Vol. 152.
• Katz, Mikhail G. Systolic geometry and topology (неопр.). — 2007. — Т. 137.
• Pao Ming; Pu. Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds (англ.) // Pacific J. Math. : journal. — 1952. — Vol. 2, no. 1. — P. 55—71.