Неравенство Харди

Нера́венство Ха́рди — математическое неравенство, названное в честь автора, английского математика Г. Х. Харди. Впервые опубликовано и доказано в 1920 году в заметке Харди^[1], посвящённой упрощению доказательства теоремы Гильберта о двойных рядах^[2][3].

Формулировка

Приведём современный вариант неравенства; он несколько отличается от приведенного в первой публикации Харди — в 1926 году Эдмунд Ландау уточнил коэффициент в правой части^[4].

Пусть ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots }$ — последовательность неотрицательных вещественных чисел, не все из которых равны нулю. Тогда для любого вещественного числа ${\displaystyle p>1}$ имеет место неравенство: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.}$

Константа справа ${\displaystyle \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}}$ является оптимальной, то есть в случае любого её уменьшения неравенство может не выполняться^[5].

Интегральная версия

Если ${\displaystyle f(x)}$ — неотрицательная интегрируемая функция, то[6]: ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx\leqslant \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.}$

Равенство левой и правой части возможно тогда и только тогда, когда функция ${\displaystyle f(x)}$ почти всюду равна нулю^[6].

Замечания

Из неравенства Харди можно вывести как следствие неравенство Карлемана.

У интегрального неравенства Харди имеются многочисленные обобщения^[7][8].

Примечания

1. Hardy, G. H. Note on a theorem of Hilbert (англ.) // Mathematische Zeitschrift^[англ.] : journal. — 1920. — Vol. 6, no. 3—4. — P. 314—317. — doi:10.1007/BF01199965.
2. Гильберта неравенство // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 967—968.
3. Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, теорема 315 и далее.
4. Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, примечание к теореме 327.
5. Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, теорема 326 и далее.
6. Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, теорема 327.
7. Математическая энциклопедия, 1985.
8. Ruzhansky, Michael. Hardy inequalities on homogeneous groups : 100 years of Hardy inequalities. — ISBN 978-3-030-02894-7, 3-030-02894-1.

Литература

• Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2-е изд., М.: Наука, 1977, 456 с.
• Xapди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства = Inequalities. — М.: КомКнига, 2006. — 458 с. — ISBN 5-484-00363-6.
• Харди неравенство // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 772—773.
• Kufner, Alois; Persson, Lars-Erik. Weighted inequalities of Hardy type (неопр.). — World Scientific Publishing, 2003. — ISBN 981-238-195-3.
• Masmoudi, Nader (2011), "About the Hardy Inequality", An Invitation to Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4 {{citation}}: Неизвестный параметр |editors= игнорируется (|editor= предлагается) (справка)CS1 maint: Uses editors parameter (link) Masmoudi, Nader (2011), "About the Hardy Inequality", An Invitation to Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4 {{citation}}: Неизвестный параметр |editors= игнорируется (|editor= предлагается) (справка).

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Hardy inequality", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4