Неравенство Эрдёша — Морделла

Неравенство Эрдёша — Морделла : MA + MB + MC ≥ 2(MH + MK +ML)

Неравенство Эрдёша — Морделла (неравенство Эрдёша — Морделла — Барроу) — планиметрическое утверждение, устанавливает связь между расстояниями от точки внутри треугольника до его сторон с расстояниями от той же точки до вершин треугольника.

Неравенство

Пусть точка ${\displaystyle M}$ лежит внутри треугольника ${\displaystyle ABC}$. Обозначим расстояния от точки ${\displaystyle M}$ до сторон ${\displaystyle BC,CA,AB}$ треугольника через ${\displaystyle d_{a},d_{b},d_{c}}$, а расстояния от точки ${\displaystyle M}$ до вершин ${\displaystyle A,B,C}$ через ${\displaystyle R_{a},R_{b},R_{c}}$. Тогда

${\displaystyle R_{a}+R_{b}+R_{c}\geqslant 2(d_{a}+d_{b}+d_{c}).}$

История

Эрдёш выдвинул это утверждение в качестве гипотезы в 1935 году (Erdős 1935). Через два года доказательство дал Морделл (Mordell & Barrow 1937). Однако его доказательство было весьма сложным. Более простые доказательства даны в (Kazarinoff 1957), (Bankoff 1958) и (Alsina & Nelsen 2007).

Ссылки

• А. Егоров. Треугольники и неравенства // Квант. — 2005. — № 2. — С. 32—33.
• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "A visual proof of the Erdős-Mordell inequality", Forum Geometricorum, 7: 99—102 Архивная копия от 16 июля 2020 на Wayback Machine
• Bankoff, Leon (1958), "An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem", American Mathematical Monthly, 65 (7): 521, JSTOR 2308580
• Erdős, Paul (1935), "Problem 3740", American Mathematical Monthly, 42: 396
• Kazarinoff, D. K. (1957), "A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles", Michigan Mathematical Journal, 4 (2): 97—98, doi:10.1307/mmj/1028988998
• Mordell, L. J.; Barrow, D. F. (1937), "Solution to 3740", American Mathematical Monthly, 44: 252—254