Обезьянье седло

Обезьянье седло

Обезьяньим седлом называется поверхность, определяемая уравнением:

${\displaystyle z=x^{3}-3xy^{2}.}$

Свойства

• Обезьянье седло принадлежит к классу седловых поверхностей.
• Точка (0,0,0) на обезьяньем седле соответствует вырожденной критической точке функции z(x,y) в (0, 0).
• Обезьянье седло имеет изолированную омбилическую особенность с нулевой гауссовой кривизной в начале координат, в то время как в остальных точках кривизна строго отрицательна.
• Сферическое отображение обезьяньего седла имеет точку ветвления в точке (0,0,0).

О названии

Обезьянье седло обязано своим названием тому, что седло для обезьяны требует трёх углублений: двух для ног и одного для хвоста.

Чтобы показать, что обезьянье седло имеет три углубления, запишем уравнение в комплексных числах:

${\displaystyle z(x,y)=\operatorname {Re} (x+iy)^{3}.}$

Поскольку z(tx,ty) = t³ z(x,y) для t ≥ 0, поверхность определяется переменной z на единичной окружности. Параметризуя z=e^iφ, где φ ∈ [0, 2π), мы получим на окружности уравнение z(φ) = cos 3φ, следовательно, z, действительно, имеет три углубления. Заменив в нашем уравнении 3 на любое натуральное число k, мы получим седло с k углублениями.

См. также

• Седловая точка
• Седловая поверхность

Литература

• Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. — «Мир», 1982. — (Современная математика. Вводные курсы).