Опоясанный двуклинник

Опоясанный двуклинник
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	24 грани 38 рёбер 16 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 4 квадрата
Конфигурация вершины	4(3^2.4^2) 4(3^5) 8(3^4.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J90, М24
Группа симметрии	D2d
Медиафайлы на Викискладе

Опоя́санный двукли́нник^[1][2] — один из многогранников Джонсона (J₉₀, по Залгаллеру — М₂₄).

Составлен из 24 граней: 20 правильных треугольников и 4 квадратов. Каждая квадратная грань окружена квадратной и тремя треугольными; среди треугольных граней 12 окружены квадратной и двумя треугольными, остальные 8 — тремя треугольными.

Имеет 38 рёбер одинаковой длины. 2 ребра располагаются между двумя квадратными гранями, 12 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 24 — между двумя треугольными.

У опоясанного двуклинника 16 вершин. В 4 вершинах сходятся две квадратных грани и две треугольных; в 8 вершинах — квадратная и четыре треугольных; в остальных 4 — пять треугольных.

Метрические характеристики

Если опоясанный двуклинник имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(4+5{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 12{,}6602540a^{2},}$

${\displaystyle V\approx 3{,}77763a^{3}.}$

В координатах

Опоясанный двуклинник с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты^[2]

• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;0;\;2{\sqrt {1-\xi ^{2}}}+{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;\pm 2\xi ;\;{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),}$

• ${\displaystyle \left(\pm \left(1+{\sqrt {\frac {3-4\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\right);\;0;\;{\frac {1-2\xi ^{2}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}+{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;\pm \left(1+{\sqrt {\frac {3-4\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\right);\;-{\frac {1-2\xi ^{2}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}-{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm 2\xi ;\;\pm 1;\;-{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;\pm 1;\;-2{\sqrt {1-\xi ^{2}}}-{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),}$

где ${\displaystyle \xi \approx 0{,}7671311}$ — четвёртый по величине после наибольшего^[3] действительный корень уравнения

${\displaystyle 256x^{12}-512x^{11}-1664x^{10}+3712x^{9}+1552x^{8}-6592x^{7}+1248x^{6}+4352x^{5}-2024x^{4}-944x^{3}+672x^{2}-24x-23=0.}$

При этом две оси симметрии многогранника будет совпадать с биссектрисами координатных углов плоскости xOy, а две плоскости симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

Примечания

1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 24.
2. А. В. Тимофеенко. Несоставные многогранники, отличные от тел Платона и Архимеда.  (PDF) Фундаментальная и прикладная математика, 2008, том 14, выпуск 2. — Стр. 197—198. (Архивная копия от 30 августа 2021 на Wayback Machine)
3. См. корни данного уравнения.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Опоясанный двуклинник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Опоясанный двуклинник в базе знаний Wolfram Alpha