Осциллятор Дуффинга

У этого термина существуют и другие значения, см. Осциллятор.

Осциллятор Дуффинга
Отображение Пуанкаре для вынужденных колебаний осциллятора Дуффинга, демонстрирующее хаотическое поведение
Определяющая формула	${\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t)}$
Медиафайлы на Викискладе

Осциллятор Дуффинга (англ. Duffing oscillator) — простейшая одномерная нелинейная система. Представляет собой частицу, движущуюся в потенциале вида ${\displaystyle U(x)=ax^{2}/2+bx^{4}/4}$. При ${\displaystyle b=0}$ система сводится к обычному гармоническому осциллятору.

Особенностью осциллятора Дуффинга является возможность моделирования хаотической динамики.

Дифференциальное уравнение движения для осциллятора Дуффинга имеет вид:

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-ax-bx^{3}}$,

где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle m}$ соответственно, координата частицы и её масса.

Уравнение впервые было изучено немецким инженером Георгом Дуффингом в 1918 году. Дискретная его версия известна как отображение Дуффинга^[англ.].

Решение этого уравнения Дуффинга выражается через эллиптические функции: ${\displaystyle x(t)=a_{1}cn(u,k),u=a_{2}t+b}$^[1].

Зависимость амплитуды от частоты

В отсутствие диссипации (трения), гармонический (линейный) осциллятор, находящийся под действием внешней периодической силы ${\displaystyle F=F_{0}\cos(\omega t)}$, испытывает резонанс, если частота этой силы ${\displaystyle \omega }$ совпадает с собственной частотой осциллятора ${\displaystyle \omega _{0}=\omega }$. При близости возбуждающей частоты частоте резонанса осциллятор совершает колебания конечной амплитуды. Последняя пропорциональна ${\displaystyle (\omega _{0}-\omega )^{-2}}$ и обращается в бесконечность точно при резонансе.

В отличие от гармонического осциллятора, осциллятор Дуффинга под действием внешней периодической силы испытывает бистабильное поведение.

Примечания

1. Rand, R.H. Lecture notes on nonlinear vibrations // Cornell Universit. — 2012. — С. 13–17. Архивировано 23 сентября 2021 года.

Литература

• Ivana Kovacic, Michael J. Brennan. The Duffing Equation: Nonlinear Oscillators and their Behaviour. — John Wiley & Sons, 2011. — ISBN 9780470715499.
• M. Lakshmanan, K Murali. Chaos In Nonlinear Oscillators: Controlling And Synchronization. — World Scientific, 1996. — Vol. 13. — P. 35—90. — 340 p. — (World Scientific Series on Nonlinear Science Series A). — ISBN 978-981-02-2143-0.

Ссылки

• Осциллятор Даффинга на Сколарпедии