Отображение Гаусса

Эта статья об отображении поверхности в сферу; об отображении единичного отрезка в себя см. Преобразование Гаусса.

Отображение Гаусса ставит в соответствие каждой точке поверхности вектор единичной нормали в этой точке. Концы всех таких векторов, отложенных от одной точки, лежат на сфере единичного радиуса.

Отображение Гаусса (гауссово отображение, сферическое отображение) — отображение из гладкой поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве в единичную сферу, при котором точка поверхности отображается в вектор единичной нормали в этой точке. Названо в честь Карла Фридриха Гаусса.

Свойства

• Якобиан отображения Гаусса равен гауссовой кривизне поверхности в данной точке.

Вариации и обобщения

• Отображение Гаусса естественно обобщается на случай гиперповерхности в евклидовом пространстве произвольной размерности.
• Для подмногообразия евклидова пространства произвольной размерности и коразмерности естественным аналогом отображения Гаусса является отображение, сопоставляющее точке подмногообразия точку грассманиана, соответствующую касательному пространству в этой точке.

Литература

• Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
• П. К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
• Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. — Любое издание.
• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.