Параметризованный постньютоновский формализм

Общая теория относительности
Введение^[англ.] · История^[англ.] Математическая формулировка Предсказания
Фундаментальные принципы Специальная теория относительности · Пространство-время · Принцип эквивалентности · Мировая линия · Псевдориманово многообразие
Явления Задача Кеплера в ОТО · Гравитационное линзирование · Гравитационная волна · Увлечение инерциальных систем отсчёта Расхождение геодезических Горизонт событий Гравитационная сингулярность Чёрная дыра · Белая дыра Космологическая сингулярность Гравитомагнетизм
Уравнения Уравнения Эйнштейна · Космологическая постоянная · Линеаризованная ОТО · Постньютоновский формализм
Развитие теории Параметризованный постньютоновский формализм · Теории типа Калуцы — Клейна · Квантовая гравитация · Альтернативные теории
Решения Точные решения: Шварцшильда · Райсснера — Нордстрёма · Керра · Керра — Ньюмена · Гёделя · Казнера · Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера Приближённые решения: Постньютоновский формализм · Ковариантная теория возмущений · Численная относительность
Журналы General Relativity and Gravitation · Classical and Quantum Gravity · Гравитация и космология · Living Reviews in Relativity
Связанные темы Гравитация · Золотой век ОТО
См. также: Портал:Физика

Параметризо́ванный постнью́тоновский формали́зм (ППН формали́зм) — версия постньютоновского формализма, применимая не только к общей теории относительности, но и к другим метрическим теориям гравитации, когда движения тел удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. В таком подходе явно выписываются все возможные зависимости гравитационного поля от распределения материи вплоть до соответствующего порядка обратного квадрата скорости света ${\displaystyle c^{-2}}$ (точнее, скорости гравитации, при этом обычно ограничиваются первым порядком) и составляется наиболее общее выражение для решения уравнений гравитационного поля и движения материи. Различные теории гравитации при этом предсказывают различные значения коэффициентов — так называемых ППН параметров — в общих выражениях. Это приводит к потенциально наблюдаемым эффектам, экспериментальные ограничения на величину которых приводят к ограничениям на ППН параметры, и соответственно — к ограничениям на теории гравитации, их предсказывающие. Можно сказать, что ППН параметры описывают различия между ньютоновой и описываемой теорией гравитации. ППН формализм применим когда гравитационные поля слабы, а скорости движения формирующих их тел малы по сравнению со скоростью света (точнее, скоростью гравитации) — каноническими примерами применения являются движение Солнечной системы и систем пульсаров в двойных системах^[1][2].

История

Первая параметризация постньютоновского приближения принадлежит перу Эддингтона (Eddington, 1922^[3]). В ней рассматривалось, впрочем, только гравитационное поле в вакууме вокруг сферически-симметричного статического тела^[4]. Нордтведт^[англ.] (Nordtvedt, 1968^[5], 1969^[6]) расширил формализм до 7 параметров, а Уилл (Will, 1971^[7]) ввёл в него описание небесных тел как протяжённых распределений тензора энергии-импульса^[4].

Версии формализма, применяющиеся чаще всего и описанные ниже, базируются на работах Ни^[англ.] (Ni, 1972^[8]), Уилла и Нордтведта (Will & Nordtvedt, 1972^[9]), Мизнера, Торна и Уилера Гравитация^[10], и Уилла^[1][2], и имеют 10 параметров.

Бета-дельта вариант (Beta-delta notation)

Десять постньютоновских параметров (ППН параметров) полностью характеризуют поведение подавляющего большинства метрических теорий гравитации в пределе слабого поля^[11]. ППН формализм показал себя ценным инструментом для проверки общей теории относительности^[12]. В обозначениях Уилла (Will, 1971^[7]), Ни (Ni, 1972^[8]) и Мизнера, Торна и Уилера (Misner et al., 1973^[10]) ППН параметры имеют условно следующее значение^[13]:

${\displaystyle \gamma }$	Насколько сильная пространственная кривизна в ${\displaystyle g_{ij}}$ генерируется единицей массы покоя?
${\displaystyle \beta }$	Насколько велика нелинейность в ${\displaystyle g_{00}}$ при сложении гравитационных полей?
${\displaystyle \beta _{1}}$	Как много тяготения в ${\displaystyle g_{00}}$ производится единицей кинетической энергии ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{0}v^{2}}$?
${\displaystyle \beta _{2}}$	Как много тяготения в ${\displaystyle g_{00}}$ производится единицей гравитационной потенциальной энергии ${\displaystyle \rho _{0}/U}$?
${\displaystyle \beta _{3}}$	Как много тяготения в ${\displaystyle g_{00}}$ производится единицей внутренней энергии тела ${\displaystyle \rho _{0}\Pi }$?
${\displaystyle \beta _{4}}$	Как много тяготения в ${\displaystyle g_{00}}$ производится единицей давления ${\displaystyle p}$?
${\displaystyle \zeta }$	Разница между проявлением радиальной и трансверсальной кинетической энергией в тяготении в ${\displaystyle g_{00}}$
${\displaystyle \eta }$	Разница между проявлением радиальных и трансверсальных напряжений в тяготении в ${\displaystyle g_{00}}$
${\displaystyle \Delta _{1}}$	Как много увлечения инерциальных систем отсчёта в ${\displaystyle g_{0j}}$ производится единицей импульса ${\displaystyle \rho _{0}v}$?
${\displaystyle \Delta _{2}}$	Разница между степенью увлечения инерциальных систем отсчёта в радиальном и трансверсальном направлении

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ — симметричный метрический тензор 4 на 4, а пространственные индексы ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ пробегают значения от 1 до 3.

В теории Эйнштейна эти параметры соответствуют тому, что (1) для малых скоростей движения тел и их масс восстанавливается ньютоново тяготение, (2) выполняются законы сохранения энергии, массы, импульса и момента импульса, и (3) уравнения теории не зависят от системы отсчёта. В таких обозначениях общая теория относительности имеет ППН параметры

${\displaystyle \gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1}$ и ${\displaystyle \zeta =\eta =0}$^[13].

Альфа-дзета вариант (Alpha-zeta notation)

В более современной версии (Will & Nordtvedt, 1972^[9]), используемой также в работах Уилла (1981^[2], 2014^[1]), применяется другой эквивалентный набор из 10 ППН параметров.

${\displaystyle \gamma =\gamma }$,

${\displaystyle \beta =\beta }$,

${\displaystyle \alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4}$,

${\displaystyle \alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1}$,

${\displaystyle \alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta }$,

${\displaystyle \zeta _{1}=\zeta }$,

${\displaystyle \zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1}$,

${\displaystyle \zeta _{3}=\beta _{3}-1}$,

${\displaystyle \zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma }$,

${\displaystyle \xi }$ получается из ${\displaystyle 3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}}$.

Смысл параметров ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$ и ${\displaystyle \alpha _{3}}$ при этом — степень проявления эффектов предпочтительной системы отсчёта (эфира)^[14]. ${\displaystyle \zeta _{1}}$, ${\displaystyle \zeta _{2}}$, ${\displaystyle \zeta _{3}}$, ${\displaystyle \zeta _{4}}$ и ${\displaystyle \alpha _{3}}$ измеряют степень нарушения законов сохранения энергии, импульса и момента импульса^[15].

В этих обозначениях ППН параметры ОТО есть

${\displaystyle \gamma =\beta =1}$ и ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0}$^[16].

Вид метрики альфа-дзета варианта:

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\varepsilon ^{3})\end{matrix}}}$

${\displaystyle g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\eta )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\varepsilon ^{\frac {5}{2}})\;,}$

${\displaystyle g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\varepsilon ^{2})\;}$,

где по повторяющимся индексам предполагается суммирование, ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$ определяется как максимальное в системе значение ньютонова потенциала ${\displaystyle U}$, квадрата скорости материи или подобных величин (они все имеют один порядок величины), ${\displaystyle w^{i}}$ — скорость ППН координатной системы относительно выделенной системы покоя, ${\displaystyle w^{2}=w^{i}w^{j}\delta _{ij}}$ — квадрат этой скорости, а ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ если ${\displaystyle i=j}$ и ${\displaystyle 0}$ в противоположном случае — символ Кронекера^[17].

Есть только десять простых метрических потенциалов: ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle U_{ij}}$, ${\displaystyle \Phi _{W}}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \Phi _{1}}$, ${\displaystyle \Phi _{2}}$, ${\displaystyle \Phi _{3}}$, ${\displaystyle \Phi _{4}}$, ${\displaystyle V_{i}}$ и ${\displaystyle W_{i}}$^[18], столько же, как и ППН параметров, что гарантирует единственность ППН решения для каждой теории гравитации^[17]. Форма этих потенциалов напоминает гравитационный потенциал ньютоновской теории — они равны определённым интегралам по распределению материи, например^[18],

${\displaystyle U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho _{0} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'.}$

Полный список определений метрических потенциалов см. в работах Мизнера, Торна, Уилера (Misner et al., 1973^[19]), Уилла (1981^[18], 2014^[20]) и др.

Процедура получения ППН параметров из теории гравитации

Примеры анализа можно найти в книге Уилла, 1981^[2]. Процесс состоит из девяти стадий^[21]:

• Шаг 1: Определение переменных: (a) динамические гравитационные переменные, такие как метрика ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, гравитационное скалярное ${\displaystyle \phi }$, векторное ${\displaystyle K_{\mu }}$ и/или тензорное поле ${\displaystyle B_{\mu \nu }}$ и т. п.; (b) переменные предпочтительной геометрии, такие как плоская фоновая метрика ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$, космологическое время ${\displaystyle t}$ и т. п.; (c) переменные материальных (негравитационных) полей.
• Шаг 2: Установление космологических граничных условий: предполагая вселенную Фридмана (однородную и изотропную), вводим изотропные координаты в системе покоя Вселенной (полное космологическое решение для этого нужно не всегда). Полученные фоновые космологические поля называем ${\displaystyle g_{\mu \nu }^{(0)}={\mbox{diag}}(-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})}$, ${\displaystyle \phi _{0}}$, ${\displaystyle K_{\mu }^{(0)}}$, ${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)}}$.
• Шаг 3: Вводим новые переменные ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}}$, а если необходимо, то и ${\displaystyle \phi -\phi _{0}}$, ${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}}$, ${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}}$.
• Шаг 4: Подставляем полученные выражения и тензор энергии-импульса материи (обычно идеальной жидкости) в уравнения гравитационного поля и отбрасываем члены слишком высокого порядка для ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ и прочих динамических гравитационных переменных.
• Шаг 5: Решаем уравнения для ${\displaystyle h_{00}}$ с точностью до ${\displaystyle O(2)}$. Предполагая эту величину стремящейся к нулю вдали от системы, получаем форму ${\displaystyle h_{00}=2\alpha U}$, где ${\displaystyle U}$ — гравитационный потенциал Ньютона, а ${\displaystyle \alpha }$ может быть сложной функцией, включающей гравитационную «постоянную» ${\displaystyle G}$. Ньютонова метрика имеет форму ${\displaystyle g_{00}=-c_{0}+2\alpha U}$, ${\displaystyle g_{0j}=0}$, ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}}$. Переходим к единицам, в которых гравитационная «постоянная», измеренная сейчас вдали от гравитирующей материи, равна единице ${\displaystyle G_{\mbox{today}}=\alpha /c_{0}c_{1}=1}$.
• Шаг 6: Из линеаризованной версии полевых уравнений получаем ${\displaystyle h_{ij}}$ с точностью до ${\displaystyle O(2)}$ и ${\displaystyle h_{0j}}$ с точностью до ${\displaystyle O(3)}$.
• Шаг 7: Находим ${\displaystyle h_{00}}$ с точностью до ${\displaystyle O(4)}$. Это самый сложный этап, так как уравнения тут становятся нелинейными. Тензор энергии-импульса также нужно разложить до нужного порядка.
• Шаг 8: Переходим в стандартную ППН калибровку.
• Шаг 9: Сравнивая результирующую метрику ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ с известным ППН выражением, определяем ППН параметры теории.

Сравнение теорий гравитации

Основная статья: Альтернативные теории гравитации § ППН параметры для различных теорий

Основной источник: Уилл (1981^[2], 2014^[22])

Таблица, представляющая ППН параметры 23 теорий гравитации, находится в статье «Альтернативные теории гравитации».

Большинство метрических теорий можно разделить по нескольким категориям. Скалярные теории гравитации включают конформно-плоские теории и стратифицированные теории с пространственными сечениями, строго ортогональными временному направлению.

В конформно-плоских теориях, например, теориях Нордстрёма, метрика равна ${\displaystyle \mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}}$ и поэтому ${\displaystyle \gamma =-1}$, что абсолютно несовместимо с наблюдениями. В стратифицированных теориях, например, теории Йилмаза^[англ.], метрика равна ${\displaystyle \mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}}$ и, следовательно, ${\displaystyle \alpha _{1}=-4(\gamma +1)}$, что опять-таки противоречит наблюдениям.

Другой класс теорий — квазилинейные теории типа теории Уайтхэда. Для них ${\displaystyle \xi =\beta }$. Так как относительные амплитуды гармоник земных приливов зависят от ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \alpha _{2}}$, то их измерения позволяют отклонить все подобные теории, исключая такое большое значение ${\displaystyle \xi }$.

Ещё один класс теорий — биметрические теории. Для них ${\displaystyle \alpha _{2}}$ не равно 0. Из данных по прецессии оси вращения миллисекундных пульсаров мы знаем, что ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}}$, и это эффективно отклоняет биметрические теории.

Далее идут скалярно-тензорные теории, например, теория Бранса — Дике. Для таких теорий в первом приближении ${\displaystyle \gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$. Предел ${\displaystyle \gamma -1<2.3\times 10^{-5}}$ даёт очень малое ${\displaystyle 1/\omega }$, которое характеризует степень «скалярности» гравитационного взаимодействия, а по мере уточнения экспериментальных данных предел на ${\displaystyle \omega }$ всё продолжает увеличиваться, так что такие теории становятся всё менее вероятными.

Последний класс теорий — векторно-тензорные теории. Для них гравитационная «постоянная» изменяется со временем и ${\displaystyle \alpha _{2}}$ не равно 0. Лазерная локация Луны сильно ограничивает вариацию гравитационной «постоянной» и ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}}$, так что эти теории также не выглядят надёжными.

Некоторые метрические теории не попадают в выделенные категории, но имеют подобные проблемы.

Экспериментальные ограничения на ППН параметры

Значения взяты из обзора Уилла, 2014^[23]

Параметр	Границы	Эффекты	Эксперимент
${\displaystyle \gamma -1}$	${\displaystyle 2.3\cdot 10^{-5}}$	Эффект Шапиро, Гравитационное отклонение света	Траектория «Кассини — Гюйгенса»
${\displaystyle \beta -1}$	${\displaystyle 8\cdot 10^{-5}}$	Эффект Нордтведта, Сдвиг перигелия	Лазерная локация Луны, движения планет в Солнечной системе
${\displaystyle \xi }$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-9}}$	Прецессия оси вращения	Миллисекундные пульсары
${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-5}}$	Сдвиг плоскости орбиты	Лазерная локация Луны, пульсар J1738+0333
${\displaystyle \alpha _{2}}$	${\displaystyle 2\cdot 10^{-9}}$	Прецессия оси вращения	Миллисекундные пульсары
${\displaystyle \alpha _{3}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-20}}$	Самоускорение	Статистика замедления пульсаров
${\displaystyle \zeta _{1}}$	${\displaystyle 0.02}$	-	Комбинированный предел разных экспериментов
${\displaystyle \zeta _{2}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-5}}$	Ускорение двойных пульсаров	PSR 1913+16
${\displaystyle \zeta _{3}}$	${\displaystyle 10^{-8}}$	Третий закон Ньютона	Ускорение Луны
${\displaystyle \zeta _{4}}$	${\displaystyle 0.006}$‡	-	Не является независимым

‡ По ${\displaystyle 6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}}$ из работ Уилла (1976^[24], 2014^[1]). Теоретически в некоторых теориях гравитации возможен обход этого ограничения, тогда применим более слабый предел ${\displaystyle |\zeta _{4}|<0.4}$ из статьи Ни (1972^[8]).

Примечания

1. Will, 2014.
2. Уилл, 1985.
3. Эддингтон, 1934.
4. МТУ, 1977, Том 3, с. 315.
5. Nordtvedt, 1968.
6. Nordtvedt, 1969.
7. Will, 1971.
8. Ni, 1972.
9. Will & Nordtvedt, 1972.
10. МТУ, 1977.
11. МТУ, 1977, Том 3, с. 313.
12. МТУ, 1977, Том 3, с. 314.
13. МТУ, 1977, Том 3, с. 317—318.
14. Уилл, 1985, с. 90—91.
15. Уилл, 1985, с. 99—100.
16. Уилл, 1985, 5.2. Общая теория относительности.
17. Уилл, 1985, с. 87.
18. Уилл, 1985, 4.1. Постньютоновсий предел. г. Постньютоновские потенциалы..
19. МТУ, 1977, Том 3. § 39.8. ППН-метрические коэффициенты.
20. Will, 2014, p. 32—33, Box 2.
21. Уилл, 1985, 5.1. Метод расчёта..
22. Will, 2014, 3.3 Competing theories of gravity..
23. Will, 2014, p. 46.
24. Will, 1976.

Литература

Основная

• Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике: Пер. с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 296 с. — Перевод Will, C. M. Theory and Experiment in Gravitational Physics. — Cambridge University Press, 1981, 1993. — ISBN 0-521-43973-6.
• Will C. M. The Confrontation between General Relativity and Experiment (англ.) // Living Reviews in Relativity. — 2014. — Vol. 17, no. 4. — doi:10.12942/lrr-2014-4. — Bibcode: 2014LRR....17....4W. — arXiv:1403.7377. Архивировано 19 марта 2015 года.

Дополнительная

• Мизнер, Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. В 3-х тт. — М.: Мир, 1977. — Перевод Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. Gravitation. — W. H. Freeman and Co., 1973.
• Эддингтон А. С. Теория относительности. — Л.-М.: ГТТИ, 1934. — Перевод Eddington, A. S. The Mathematical Theory of Relativity. — Cambridge University Press, 1922.
• Ni W.-T. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity.IV. a Compendium of Metric Theories of Gravity and Their POST Newtonian Limits (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 176. — P. 769. — doi:10.1086/151677. — Bibcode: 1972ApJ...176..769N.
• Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies. II. Theory (англ.) // Physical Review. — 1968. — Vol. 169. — P. 1017—1025. — doi:10.1103/PhysRev.169.1017. — Bibcode: 1968PhRv..169.1017N.
• Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies Including Rotational Energy and Radiation Pressure (англ.) // Physical Review. — 1969. — Vol. 180. — P. 1293—1298. — doi:10.1103/PhysRev.180.1293. — Bibcode: 1969PhRv..180.1293N.
• Will C. M. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity. II. Parametrized Post-Newtonian Hydrodynamics, and the Nordtvedt Effect (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1971. — Vol. 163. — P. 611. — doi:10.1086/150804. — Bibcode: 1971ApJ...163..611W.
• Will C. M. Active mass in relativistic gravity - Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1976. — Vol. 204. — P. 224—234. — doi:10.1086/154164. — Bibcode: 1976ApJ...204..224W.
• Will C. M., Nordtvedt Jr., K. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 177. — P. 757. — doi:10.1086/151754. — Bibcode: 1972ApJ...177..757W.

См. также

• Линеаризованная гравитация
• Проверка общей теории относительности
• Параметры Пескина — Такэути — аналог ППН формализма в электрослабой теории