Перемешивание (динамические системы)

В теории динамических систем, перемешивание — свойство системы «забывать» информацию о начальном условии с течением времени. Более точно, различают топологическое и метрическое перемешивание. Первое относится к теории непрерывных систем и, грубо говоря, утверждает, что сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное её местонахождение становится всё более и более плотным множеством. Второе относится к теории измеримых систем — систем, сохраняющих некоторую меру ${\displaystyle \mu }$ — и утверждает, что распределение абсолютно непрерывной относительно ${\displaystyle \mu }$ меры (например, ограничения ${\displaystyle \mu }$ на заданное подмножество начальных условий) при итерациях стремится к самой мере ${\displaystyle \mu }$.

Пусть ${\displaystyle G}$ - аттрактор хаотической системы, на которой заданы оператор эволюции системы ${\displaystyle S(G)}$ и инвариантная мера ${\displaystyle \mu }$. Сегментируем аттрактор на 2 области, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle W.}$ Отношение меры точек из области ${\displaystyle B}$, которые через ${\displaystyle n}$ итераций оператора эволюции ${\displaystyle S}$ попали в область ${\displaystyle W,}$ можно записать следующим образом:

${\displaystyle D_{n}={\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W)}}.}$

Оператор эволюции ${\displaystyle S}$ является перемешиванием, если при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ значение ${\displaystyle D_{n}}$ не зависит от выбора области ${\displaystyle W,}$ а определяется отношением ${\displaystyle {\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W)}}\rightarrow {\frac {\mu (B)}{\mu (G)}}}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. Эта формула, с физической точки зрения, описывает размывание любой области начальных условий ${\displaystyle B}$ по всем аттрактору ${\displaystyle G}$. В пределе, ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, мера образов точек множества ${\displaystyle B}$ во множестве ${\displaystyle W}$ равна мере множества ${\displaystyle B}$ на аттракторе ${\displaystyle G}$ для произвольных множеств ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle W.}$^[1]

Перемешивание цветного пластилина в шарике, подвергающемся последовательным отображениям Подковы Смейла

Определения

Топологическое перемешивание

По определению, (непрерывная) динамическая система ${\displaystyle f:X\to X}$ называется топологически перемешивающей, если для любых двух непустых открытых множеств ${\displaystyle A,B\subset X}$ выполнено

${\displaystyle \exists N:\quad \forall n\geq N\quad f^{n}(A)\cap B\neq \emptyset ,}$

или, что то же самое,

${\displaystyle \exists N:\quad \forall n\geq N\quad A\cap f^{-n}(B)\neq \emptyset ,}$

Это, в частности, означает, что для любых заданных ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и непустого открытого множества ${\displaystyle A}$ все итерации ${\displaystyle A}$ с достаточно большим номером оказываются ${\displaystyle \varepsilon }$-плотны в фазовом пространстве.

Топологическое перемешивание является более сильным, чем транзитивность, свойством. Так, иррациональный поворот окружности транзитивен, но не перемешивает.

Метрическое перемешивание

По определению, сохраняющее меру измеримое отображение ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {A}},\mu )\to (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ называется метрически перемешивающим, если для любых двух измеримых множеств ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ выполнено

${\displaystyle \mu (f^{-n}(A)\cap B)\to \mu (A)\mu (B),\quad n\to \infty .}$

В терминах интегрируемых функций, это равносильно тому, что для любых двух функций ${\displaystyle \varphi ,\psi \in L_{2}(X,\mu )}$ выполнено

${\displaystyle \int _{X}\varphi (f^{n}(x))\psi (x)\,d\mu (x)\to \int _{X}\varphi \,d\mu \cdot \int _{X}\psi \,d\mu .}$

Эргодичность меры ${\displaystyle \mu }$ является необходимым, но не достаточным условием метрического перемешивания. Так, иррациональный поворот окружности сохраняет эргодическую для него меру Лебега, но не является метрически перемешивающим.

См. также

• Транзитивность (динамические системы)
• Спектральная теория динамических систем

Примечания

1. М.Ю.Логунов, О.Я.Бутковский. Перемешивание и ляпуновские показатели хаотических систем..

Литература

• Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория.
• Синай Я. Г., Современные проблемы эргодической теории, М.:ФизМатЛит, 1995, с. 24.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.