Пифагорово простое число

Пифагорово простое число — простое число вида ${\displaystyle 4n+1}$. Название связано с представимостью таких чисел в виде суммы двух квадратов (по аналогии с теоремой Пифагора): теорема Ферма — Эйлера утверждает, что эти простые могут быть представлены в виде суммы двух квадратов однозначно (с точностью до порядка), и что никакие другие простые числа не могут быть представлены таким образом, за исключением ${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}}$. Все эти простые (включая 2) являются нормой гауссовых целых чисел, в то время как другие простые таковыми не являются.

Пифагоровых простых бесконечно много, первые такие числа^[1]:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, …

Квадратичный закон взаимности утверждает, что если ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ — различные простые нечётные числа, и по крайней мере одно из них пифагорово, то ${\displaystyle p}$ является квадратичным вычетом по модулю ${\displaystyle q}$ только тогда, когда ${\displaystyle q}$ — квадратичный вычет по модулю ${\displaystyle p}$; и наоборот, если ни ${\displaystyle p}$, ни ${\displaystyle q}$ не являются пифагоровыми, то ${\displaystyle p}$ является квадратичным вычетом по модулю ${\displaystyle q}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle q}$ является квадратным невычетом по модулю ${\displaystyle p}$.

В поле ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ с пифагоровым простым ${\displaystyle p}$ уравнение ${\displaystyle x^{2}=-1}$ имеет два решения.

Примечания

1. последовательность A002144 в OEIS

Литература

• Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960. — 375 с.
• Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — М.: Физматгиз, 1940. — С. 40, 53—56.
• Сендеров В. А., Спивак А. В. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант. — 1999. — № 3. — С. 14—22.
• Dickson L. E. Vol. II. — Ch. VI. Sum of two squares // History of the Theory of Numbers. — N. Y.: Dover Publications, 2005.