Подмодуль

Подмодуль ― подмножество модуля, являющееся подгруппой его аддитивной группы и замкнутое относительно умножения на элементы основного кольца. В частности, левый (правый) идеал кольца $R$ является подмодулем левого (правого) $R$ -модуля $R$ .

Связанные определения

Подмодуль, отличный от всего модуля, называется собственным.
Подмодуль называется больши́м (или существенным), если он имеет ненулевое пересечение с любым другим ненулевым подмодулем.
- Например, целые числа образуют большой подмодуль группы рациональных чисел.
Каждый модуль является большим подмодулем своей инъективной оболочки.
Подмодуль $A$ $A$ модуля $B$ $B$ называется малым (или косущественным), если для любого подмодуля $A'\subset B$ $A'\subset B$ равенство $A+A'=B$ $A+A'=B$ влечет $A'=B$ $A'=B$ .
- Малым оказывается, например, всякий собственный подмодуль цепного модуля.

Свойства

Множество подмодулей данного модуля, упорядоченное по включению, является полной дедекиндовой решёткой.
Сумма всех малых подмодулей совпадает с пересечением всех максимальных подмодулей.
Левый идеал $I$ принадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда $IM$ мал в $M$ для всякого конечно порождённого левого модуля $M$ .
Элементы малого подмодуля являются необразующими, то есть любая система образующих модуля остается таковой после удаления любого из этих элементов (это, конечно, не означает, что их можно удалить все сразу!).
Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов модуля совпадает с множеством эндоморфизмов, имеющих малый образ.
Если $\phi$ $\phi$ ― гомоморфизм модуля $A$ $A$ в модуль $B$ $B$ , то множество
$\phi ^{-1}(0)\subset A$ $\phi ^{-1}(0)\subset A$
оказывается подмодулем модуля $A$ $A$ и называется ядром гомоморфизма $\phi$ $\phi$ .
- Каждый подмодуль служит ядром некоторого гомоморфизма.

Литература

Каш Ф. Модули и кольца, — пер. с нем., М., 1981;
Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, — пер. с англ., т. 1—2, М., 1977—79.