Поле Якоби — векторное поле вдоль геодезической
в римановом многообразии,
описывающие разницу между этой геодезической и «бесконечно близкой» ей геодезической.
Можно сказать, что все поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к ней в пространстве всех геодезических.
Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.
Пусть
есть гладкое однопараметрическое семейство геодезических с
, тогда поле
![{\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9618dbbc40723d4f2fdfc5ddc87774018f5103)
называется полем Якоби.
- Поле Якоби J удовлетворяет уравнению Якоби:
![{\displaystyle J''(t)+R(J(t),T(t))T(t)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/955a121a14a6522bdc42f4a547f8d6abcff0b183)
- где
есть ковариантная производная по отношению к связности Леви-Чивита,
— тензор кривизны, и
— касательный вектор к
.
- На полных римановых многообразиях любое поле, удовлетворяющее уравнению Якоби, является полем Якоби, то есть для него существует семейство геодезических
, связанное с этим полем в соответствии с определением.
- Уравнение Якоби — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
- В частности,
и
в какой-либо точке
однозначно определяют поле Якоби.
- Кроме того, набор полей Якоби вдоль геодезической составляет вещественное векторное пространство, размерность которого равна удвоенной размерности многообразия.
- Любое поле Якоби
можно представить единственным образом в виде суммы
, где
является линейной комбинацией тривиальных полей Якоби, и
ортогонально
при всех
.
- При этом поле
соответствует тому же семейству геодезических, только с измененной параметризацией.
- Для любых двух полей Якоби
и
величина
![{\displaystyle \langle I'(t),J(t)\rangle -\langle I(t),J'(t)\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b22663e6a3a76f58fa95ed01a2dcb621fe9aa7c)
- не зависит от
.
На сфере геодезическими через Северный полюс являются большие окружности. Рассмотрим две такие геодезические
и
с естественной параметризацией
, разделенные углом
. Геодезическое расстояние
равно
![{\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\operatorname {arcsin} {\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+\cos ^{2}t\operatorname {tg} ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b0c2617b8ae79747a060453a17ee04d048c939)
Чтобы получить это выражение, нужно знать геодезические. Наиболее интересный результат таков:
для любого
.
Вместо этого мы можем рассмотреть производные по
при
:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444292f73d67f4f5fd32b2e7825001d270d06535)
Мы вновь получаем пересечение геодезических при
. Заметим, однако, что для вычисления этой производной не нужно знать
;
все, что нужно сделать, это решить уравнение
,
для некоторых заданных начальных условий.
Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления для произвольных римановых многообразий.
Пусть
; добавим к этому вектору другие, чтобы получился ортонормированный базис
в
. Переместим его параллельным переносом, чтобы получить базис
в любой точке
.
Это даёт ортонормированный базис с
.
Поле Якоби можно записать в координатах, связанных с этим базисом:
, откуда:
![{\displaystyle {\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2bdb5bb7751d8e13e88aca2eb4b5d118582445)
и уравнение Якоби можно переписать в виде системы
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2c68aaa85f1fb181857c49826509d74d058acd)
для каждого
. Таким образом мы получим линейные обыкновенные дифференциальные уравнения.
Поскольку уравнение имеет гладкие коэффициенты, мы имеем, что решения существуют для всех
и являются единственными, если заданы
и
для всех
.
Рассмотрим геодезическую
с параллельным ортонормированным репером
,
, построенным, как описано выше.
- Векторные поля вдоль
, заданные
и
, являются полями Якоби.
- В евклидовом пространстве (а также для пространств постоянной нулевой секционной кривизны) поля Якоби это — это те поля, что линейны по
.
- Для римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны
любое поле Якоби является линейной комбинацией
,
и
, где
.
- Для римановых многообразий постоянной положительной секционной кривизны
любое поле Якоби является линейной комбинацией
,
,
и
, где
.
- Сужение поля Киллинга на геодезическую является полем Якоби в любом римановом многообразии.
- Поля Якоби соответствуют геодезическим на касательном расслоении (по отношению к метрике
, индуцированной метрикой на
).
- Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
- Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.