Потенциалы Льенара — Вихерта

Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал
Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция
Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле
Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс
Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток
См. также: Портал:Физика

Потенциа́лы Льена́ра — Ви́херта (часто используется также написание потенциалы Лиенара — Вихерта) представляют собой простое лоренц-инвариантное выражение для потенциалов поля, создаваемого точечным электрическим зарядом, движущимся по заданной траектории. Они являются точным решением уравнений Максвелла в пустоте для случая одной частицы, записанным в калибровке Лоренца.

Выражения получены независимо друг от друга Альфредом-Мари Льенаром (1898) и Эмилем Вихертом (1900).

Определение

Все величины в формулах для потенциалов Льенара — Вихерта, включая скорость частицы и её радиус-вектор ${\displaystyle \mathbf {R} }$, берутся в момент времени ${\displaystyle t'}$, определяемый из уравнения

${\displaystyle c(t-t')=R.}$

${\displaystyle t'}$ также называют временем запаздывания^[англ.].^[1]

Потенциалы поля в начале координат даются выражениями (в системе СГС)

${\displaystyle \varphi (t)=\left.{\frac {e}{R+{\mathbf {v} \mathbf {R} \over c}}}\right|_{t=t'},}$

${\displaystyle \mathbf {A} (t)=\left.{\frac {e\mathbf {v} }{c\left(R+{\mathbf {v} \mathbf {R} \over c}\right)}}\right|_{t=t'},}$

где ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — скорость частицы, ${\displaystyle \mathbf {R} }$ — её радиус-вектор, ${\displaystyle R=|\mathbf {R} |,}$ ${\displaystyle \varphi }$ — скалярный потенциал, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — векторный потенциал магнитного поля, ${\displaystyle e}$ — заряд частицы, ${\displaystyle c}$ — скорость света.

В более общем случае, когда потенциалы ищутся в произвольной точке P системы отсчёта с радиусом-вектором ${\displaystyle \mathbf {r} _{P}}$, формулы для потенциалов можно объединить в одно лоренц-инвариантное выражение для 4-потенциала:

${\displaystyle A^{\mu }=e{\frac {u^{\mu }}{R_{\nu }u^{\nu }}},\qquad R_{\lambda }R^{\lambda }=0,}$

где ${\displaystyle u^{\mu }}$ — 4-скорость частицы в момент времени ${\displaystyle t'}$, 4-вектор ${\displaystyle R^{\mu }=\left[c(t-t'),\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} '\right],}$ величина ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ есть радиус-вектор частицы в момент времени ${\displaystyle t'}$.

Примечания

1. Дж. Джексон. КЛАССИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА / И. Г. Нахимсон. — Москва, 1-й Рижский пер., 2: «МИР», 1965. — С. 212, 510.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7..
• Lienard A. M. L’Éclairage électrique 16, 5, 53, 106 (1898).
• Wiechert E. Archives néerl., 2nd series, 5, 549 (1900).