Правильный четырёхмерный многогранник

Правильные четырёхмерные многогранники являются четырёхмерными аналогами правильных многогранников в трёхмерном пространстве и правильных многоугольников на плоскости.

Правильные 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века, хотя полное множество было открыто много позже.

Существует шесть выпуклых и десять звёздчатых правильных 4-мерных многогранников, в общей сумме шестнадцать.

История

Тессеракт — один из 6 выпуклых правильных 4-мерных многогранников

Выпуклые 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века. Шлефли обнаружил, что существует ровно шесть таких тел.

Шлефли нашёл также четыре правильных звёздчатых 4-мерных многогранника большой стодвадцатиячейник^[англ.], большой звёздчатый стодвадцатиячейник^[англ.], великий шестистотячейник^[англ.] и большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник. Он пропустил оставшиеся шесть, поскольку он не разрешал нарушения эйлеровой характеристики на ячейках или вершинных фигурах (F − E + V = 2). Это исключает ячейки и вершинные фигуры, такие как {5,5/2} и {5/2,5}.

Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей книге на немецком Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (Введение в учение о делении поверхности шара с особым учётом его применения в теории равногранных и равноугольных многогранников) в 1883.

Построение

Существование правильного 4-мерного многогранника ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ограничено существованием правильных (3-мерных) многогранников ${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}$, которые образуют его ячейки и ограничивают двугранный угол

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)>\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right),}$

чтобы ячейки представляли собой замкнутые 3-мерные поверхности.

Шесть выпуклых и десять звёздчатых многогранников, описываемых здесь, авляются единственными решениями, удовлетворяющими ограничениям.

Существует четыре невыпуклых символа Шлефли {p,q,r}, имеющие допустимые ячейки {p,q} и вершинные фигуры {q,r}, которые проходят тест на диэдральный угол, но которые не дают конечные фигуры — {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники являются четырёхмерными аналогами платоновых тел в трёхмерном пространстве и выпуклых правильных многоугольников в двумерном.

Пять из них можно понимать как близкие аналоги платоновых тел. Существует одна дополнительная фигура, двадцатичетырёхъячейник, которая не имеет близкого трёхмерного эквивалента.

Каждый выпуклый правильный 4-мерный многогранник ограничен множеством 3-мерных ячеек^[англ.], которые являются платоновыми телами одного типа и размера. Ячейки соприкасаются друг с другом по граням, образуя правильную структуру.

Свойства

Следующие таблицы перечисляют некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-мерных многогранников. Группы симметрии этих 4-мерных многогранников все являются группами Коксетера и даны в данной статье. Число, следующее за названием группы, равно порядку группы.

Имена	Рисунок	Семейство	Шлефли Коксетер	Вершин	Рёбра	Грани	Ячейки^[англ.]	Верш. фигура	Двой- ственный	Группа симметрии
пятиячейник пятигранник 4-симплекс		n-симплекс (Семейство An)	{3,3,3}	5	10	10 {3}	5 {3,3}	{3,3}	(самодвой- ственный)	A4 [3,3,3]	120
восьмиячейник тессеракт 4-куб		n-куб (Семейство Bn)	{4,3,3}	16	32	24 {4}	8 {4,3}	{3,3}	16-ячейник	B4 [4,3,3]	384
шестнадцатиячейник 4-ортоплекс		n-ортоплекс (Семейство Bn)	{3,3,4}	8	24	32 {3}	16 {3,3}	{3,4}	8-ячейник	B4 [4,3,3]	384
двадцатичетырёхъячейник октаплекс полиоктаэдр (pO)		Семейство Fn	{3,4,3}	24	96	96 {3}	24 {3,4}	{4,3}	(самодвой- ственный)	F4 [3,4,3]	1152
стодвадцатиячейник додекаконтихорон додекаплекс полидодекаэдр (pD)		n-пятиугольный многогранник (Семейство Hn)	{5,3,3}	600	1200	720 {5}	120 {5,3}	{3,3}	600-ячейник	H4 [5,3,3]	14400
шестисотъячейник тетраплекс политетраэдр (pT)		n-пятиугольный многогранник (Семейство Hn)	{3,3,5}	120	720	1200 {3}	600 {3,3}	{3,5}	120-ячейник	H4 [5,3,3]	14400

Джон Конвей является сторонником имён симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), додекаплекс или полидодекаэдр (pD) и тетраплекс или политетраэдр (pT) ^[1].

Норман Джонсон является сторонником имён n-ячейник или пентахорон, тессеракт или октахорон, гексадекахорон, икоситетрахорон, гекатоникосаэдр (или додекаконтахорон) и гексакосихорон.^[2][3][4]

Характеристика Эйлера для всех 4-мерных многогранников равна нулю. Имеется 4-мерный аналог формулы Эйлера для многогранников:

${\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0}$

где N_k означает число k-граней в многограннике (вершина является 0-гранью, ребро является 1-гранью, и т.д.).

Визуализация

Следующая таблица показывает некоторые 2-мерные проекции 4-мерных многогранников. Различные другие визуализации можно найти во внешних ссылках. Графы диаграмм Коксетера — Дынкина также даны ниже символа Шлефли.

A4 = [3,3,3]	BC4 = [4,3,3]		F4 = [3,4,3]	H4 = [5,3,3]
Пятиячейник	8-ячейник	16-ячейник	24-ячейник	120-ячейник	600-ячейник
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
3-мерные ортографические проекции
тетраэдральная оболочка (центрировано по ячейке/вершине)	кубическая оболочка (центрировано по ячейке)	кубическая оболочка (центрировано по ячейке)	кубооктаэдральная оболочка (центрировано по ячейке)	Усечённый ромбический ромботриаконтаэдр^[англ.] (центрировано по ячейке)	пентакиикоси- додекаэдральная оболочка^[англ.] (центрировано по ячейке)
Каркасы диаграмм Шлегеля (Перспективная проекция)
центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по вершине
Каркасы стереографических проекций (3-сфера)

Правильные звёздчатые 4-мерные многогранники (Шлефли–Гесса)

Большой великий стодвадцатиячейник^[англ.], один из десяти многогранников Шлефли–Гесса (ортографическая проекция).

Четырёхмерные многогранники Шлефли–Гесса — полный список десяти правильных самопересекающихся звёздчатых четырёхмерных многогранников ^[5]. Многогранники названы по именам открывателей — Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса. Каждый многогранник представлен символом Шлефли {p,q,r}, в котором одно из чисел — 5/2. Многогранники аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера — Пуансо.

Имена

Иерархия сокращённых имён Коксетера

Имена, приведённые здесь, даны Джоном Конвеем и расширяют имена Кэли для многогранников Кеплера — Пуансо — к модификаторам stellated (звёздчатый) и great (большой) он добавил grand (великий). Конвей определил следующие операции:

1. stellation (образование звёздчатой формы) заменяет рёбра на более длинные на тех же прямых. (Пример — пятиугольник преобразуется в пентаграмму)
2. greatening (увеличение) заменяет грани на грани большего размера на тех же плоскостях. (Пример — икосаэдр увеличивается в большой икосаэдр)
3. aggrandizement (возвеличивание) заменяет ячейки большими в тех же 3-мерных пространствах. (Пример — 600-cell возвеличивается в великий 600-ячейник^[англ.])

Имена по Конвею для 10 форм из 3 4-мерных многогранников с правильными ячейками — pT=polytetrahedron (политетраэдр) {3,3,5} (тетраэдральный шестисотячейник), pI=polyicoshedron (полиикосаэдр) {3,5,5/2} (икосаэдральный стодвадцатиячейник^[англ.]) и pD=polydodecahedron (полидодекаэдр) {5,3,3} (додекаэдральный стодвадцатиячейник) с модифицирующими приставками g, a и s для great (большой), grand (великий) и stellated (звёздчатый). Конечная звёздчатая форма, great grand stellated polydodecahedron (большой великий звёздчатый полидодекаэдр), тогда получит обозначение gaspD.

Симметрия

Все десять полихоров имеют [3,3,5] (H₄) гексакосихорную симметрию^[англ.]. Они генерируются шестью связанными группами симметрии рационального порядка тетраэдров Гурса — [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] и [3,3,5/2].

Каждая группа имеет 2 правильных звёздчатых многогранников, за исключением двух самодвойственных групп, содержащих по одному многограннику. Таким образом, имеется 4 двойственные пары и 2 самодвойственные формы среди десяти правильных звёздчатых многогранников.

Свойства

Примечание:

• Существует два уникальных расположения вершин^[англ.], встречающихся в стодвадцатиячейнике и шестисотъячейнике.
• Существует четыре уникальных расположения рёбер^[англ.], которые показаны как каркасы ортографических проекций.
• Существует семь уникальных расположения граней^[англ.], показанные как тела (с цветными гранями) ортографических проекций.

Ячейки (3-мерные многогранники), их грани (многоугольники), многоугольные рёберные фигуры^[англ.] и многогранная вершинные фигуры представлены их символами Шлефли.

Название Аббревиатура Конвея	Ортогональная проекция	Шлефли Коксетер	Ячейки^[англ.] {p, q}	Грани {p}	Рёбра {r}	Вершины {q, r}	Плот- ность^[англ.]	χ
Икосаэдральный стодвадцатиячейник^[англ.] полиикосаэдр (pI)		{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	4	480
Малый звёздчатый стодвадцатиячейник^[англ.] звёздчатый полидодекаэдр (spD)		{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480
Большой стодвадцатиячейник^[англ.] большой полидодекаэдр (gpD)		{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0
Великий стодвадцатиячейник^[англ.] великий полидодекаэдр (apD)		{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0
Великий звёздчатый стодвадцатиячейник^[англ.] большой звёздчатый полидодекаэдр (gspD)		{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0
Великий звёздчатый стодвадцатиячейник^[англ.] большой звёздчатый полидодекаэдр (aspD)		{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0
Большой великий стодвадцатиячейник^[англ.] большой великий полидодекаэдр (gapD)		{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480
Большой икосаэдральный стодвадцатиячейник^[англ.] большой полиикосаэдр (gpI)		{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480
Великий шестисотъячейник^[англ.] великий политетраэдр (apT)		{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0
Большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник большой великий звёздчаты полидодекаэдр (gaspD)		{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0

См. также

• Правильные многомерные многогранники
• Список правильных многогранников и соединений
• Бесконечные правильные 4-мерные многогранники:
  • Правильные евклидовы соты: {4,3,4}
  • Четыре компактных правильных гиперболических сот: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
  • Одиннадцать паракомпактных правильных гиперболических сот: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5}, and {6,3,6}.
• Абстрактные правильные 4-мерные многогранники:
  • Одиннадцатиячейник {3,5,3}
  • Пятидесятисемиячейник^[англ.] {5,3,5}
• Семейства однородных четырёхмерных многогранников^[англ.], построенные на основе этих 6 правильных форм.
• Платоновы тела
• Тело Кеплера — Пуансо – правильные звёздчатые многогранники
• Звёздчатый многоугольник – правильные звёздчатые многоугольники

Примечания

1. Conway, 2008.
2. Джонсон предложил также термин полихорон для названия 4-мерных многогранников как аналог трёхмерных многогранников (polyhedron) и двумерных многоугольников (polygon) как производная от греческих слов πολύ ("много") и χώρος ("пространство", "помещение")
3. "Convex and abstract polytopes", Programme and abstracts, MIT, 2005  (неопр.). Дата обращения: 23 февраля 2016. Архивировано 29 ноября 2014 года.
4. Johnson (2015), Chapter 11, Section 11.5 Spherical Coxeter groups
5. Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 122 2. The Schläfli-Hess polytopes

Литература

• H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry. — 2nd. — John Wiley & Sons Inc., 1969. — ISBN 0-471-50458-0.
• H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes^[англ.]. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
• D. M. Y. Sommerville. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — New York.
  • Dover Publications, 1958
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 26, Regular Star-polytopes // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 404–408. — ISBN 978-1-56881-220-5.
• Edmund Hess. Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder. — 1883.
• Edmund Hess. Uber die regulären Polytope höherer Art. — Marburg: Sitzungsber Gesells Beförderung gesammten Naturwiss, 1885. — С. 31-57.
• H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
  • (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• H.S.M. Coxeter. Regular Complex Polytopes. — 2nd. — Cambridge University Press, 1991. — ISBN 978-0-521-39490-1.
• Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2004. — ISBN 0511058675.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Regular polychoron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Jonathan Bowers, 16 regular 4-polytopes Архивная копия от 13 декабря 2013 на Wayback Machine
• Regular 4D Polytope Foldouts
• Catalog of Polytope Images Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine A collection of stereographic projections of 4-polytopes.
• A Catalog of Uniform Polytopes Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine
• Dimensions Архивная копия от 19 сентября 2009 на Wayback Machine 2 hour film about the fourth dimension (contains stereographic projections of all regular 4-polytopes)
• George Olshevsky^[англ.] Hecatonicosachoron на Glossary for Hyperspace
  • George Olshevsky^[англ.] Hexacosichoron на Glossary for Hyperspace
  • George Olshevsky^[англ.] Stellation на Glossary for Hyperspace
  • George Olshevsky^[англ.] Greatening на Glossary for Hyperspace
  • George Olshevsky^[англ.] Aggrandizement на Glossary for Hyperspace
• Reguläre Polytope
• The Regular Star Polychora