Преобразование последовательностей

Преобразование последовательностей — оператор, действующий на пространстве последовательностей^[англ.]. Преобразование последовательностей включает в себя такие понятия, как свёртка одной последовательности с другой, их суммирование и биномиальные преобразования, а также преобразования Мёбиуса и Стрилинга^[англ.]. Преобразования последовательности могут использоваться для ускорения сходимости ряда.

Определение

Пусть дана последовательность ${\displaystyle S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }.}$ Её преобразование обозначается ${\displaystyle \mathbf {T} (S)=S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },}$ где

${\displaystyle s_{n}'=T(s_{n},s_{n+1},\dots ,s_{n+k}),}$

причём и ${\displaystyle s_{n}}$, и ${\displaystyle s'_{n}}$ являются либо вещественными, либо комплексными числами. Также можно в общем случае считать их элементами векторного пространства.

Преобразованная последовательность ${\displaystyle s'_{n}}$ сходится быстрее, чем ${\displaystyle s_{n}}$, если

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0,}$

где

${\displaystyle \ell }$ — предел сходящейся последовательности ${\displaystyle S}$.

Если отображение ${\displaystyle T(s)}$ линейно по каждому своему аргументу, то есть если

${\displaystyle s'_{n}=\sum _{m=0}^{k}c_{m}s_{n+m},}$

для некоторых констант ${\displaystyle c_{0},\cdots ,c_{k}}$, то преобразование ${\displaystyle T(s)}$ называется линейным преобразованием последовательности. Если это условие не соблюдается, то преобразование называется нелинейным.

Примеры

• Биномиальные преобразования;
• преобразования Мёбиуса;
• преобразования Шанка^[англ.];
• Дельта-квадрат преобразование Айткена^[англ.].

Литература

• Hugh J. Hamilton, "Mertens' Theorem and Sequence Transformations", AMS (1947)
• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М.: Наука, 1986. — 408 с.

Ссылки

• Transformations of Integer Sequences Архивная копия от 20 февраля 2013 на Wayback Machine, a subpage of the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences