Простое число Фибоначчи — Вифериха

Нерешённые проблемы математики: Существуют ли простые числа Фибоначчи — Вифериха? Если да, конечно ли их количество?

Простое число Фибоначчи — Вифериха (также простое число Уолла — Суня — Суня, англ. Wall – Sun – Sun) — одно из предположительно существующих простых чисел определённого вида, связанных с числами Фибоначчи. По состоянию на 2023 год ни одного такого числа не найдено.

Определение

Простое ${\displaystyle p>5}$ называется простым числом Фибоначчи — Вифериха, если ${\displaystyle p^{2}}$ делит число Фибоначчи ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}}$, где символ Лежандра ${\displaystyle \left({\tfrac {p}{5}}\right)}$ определяется как:

${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}}$

Эквивалентное определение: простое ${\displaystyle p}$ называется простым числом Фибоначи — Вифериха, если ${\displaystyle L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$, где ${\displaystyle L_{p}}$ — ${\displaystyle p}$-ое число Люка.^[1]:42

Существование

Существует гипотеза, что простых чисел Фибоначчи — Вифериха бесконечно много^[2], однако по состоянию на 2013 год ни одно такое простое число не обнаружено.

В 2007 году Ричард Макинтош (Richard J. McIntosh) и Эрик Рётгер (Eric L. Roettger) показали, что если они существуют, то должны быть больше 2⋅10^14[3], в 2010 году Франсуа Дорэ (François G. Dorais) и Доминик Клайв (Dominic Klyve) довели границу до 9,7⋅10^14[4]. В декабре 2011 года был начат поиск в проекте PrimeGrid^[5], в декабре 2012 года PrimeGrid дошёл до границы 1,5⋅10^16[6]. По состоянию на апрель 2014 года PrimeGrid дошёл до границы 2.8⋅10¹⁶ и продолжает поиск^[6].

История

Простые числа Уолла — Суня — Суня названы в честь Дональда Уолла (Donald Dines Wall)^[7], Сунь Чжихуна (Sūn Zhìhóng) и Сунь Чживэя (Sūn Zhìwěi), которые в 1992 году показали, что если первый случай великой теоремы Ферма неверен для некоторого простого ${\displaystyle p,}$ то ${\displaystyle p}$ должно быть простым числом Фибоначи — Вифериха^[8]. Таким образом, до доказательства великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом, поиск простых Фибоначчи — Вифериха преследовал цель найти потенциальный контрпример.

Обобщения

Простое (число) трибоначчи — Вифериха (англ. Tribonacci-Wieferich prime)^[9] — простое число, удовлетворяющее условию

${\displaystyle h(p)=h(p^{2}),}$

где ${\displaystyle h(m)}$ — наименьшее положительное целое, для которого выполняется условие

${\displaystyle \left[T_{h},T_{h+1},T_{h+2}\right]\equiv \left[T_{0},T_{1},T_{2}\right]{\pmod {m}},}$

${\displaystyle T_{n}}$ — число трибоначчи с номером n, определённое как

${\displaystyle T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_{n},}$

${\displaystyle T_{0}=0,T_{1}=0,T_{2}=1.}$

Простых трибоначчи — Вифериха, меньших 10¹¹, не существует^[9].

См. также

• Простое число Вифериха
• Число Вильсона
• Простое число Вольстенхольма

Примечания

1. Vladica, A. On Fibonacci powers (неопр.) // Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat.. — 2006. — Т. 17. — С. 38—44. — doi:10.2298/PETF0617038A. Архивировано 2 декабря 2013 года.
2. Klaška, Jiří (2007), "Short remark on Fibonacci−Wieferich primes", Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis, 15 (1): 21—25, Архивировано из оригинала 18 июля 2011, Дата обращения: 22 января 2013
3. McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.] : journal. — 2007. — Vol. 76, no. 260. — P. 2087—2094. — doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2. Архивировано 12 ноября 2012 года.
4. Dorais, F. G.; Klyve, D. W. Near Wieferich primes up to 6.7 × 10¹⁵ (англ.) : journal. — 2010. Архивировано 6 августа 2011 года.
5. PrimeGrid Announcement of Wieferich and Wall-Sun-Sun searches Архивная копия от 14 марта 2013 на Wayback Machine
6. Wall-Sun-Sun Prime Search project Архивная копия от 26 сентября 2011 на Wayback Machine at PrimeGrid
7. Wall, D. D. (1960), "Fibonacci Series Modulo m", American Mathematical Monthly, 67 (6): 525—532, doi:10.2307/2309169
8. Sun, Zhi-Hong; Sun, Zhi-Wei (1992), "Fibonacci numbers and Fermat's last theorem" (PDF), Acta Arithmetica, 60 (4): 371—388, Архивировано из оригинала (PDF) 30 сентября 2020, Дата обращения: 22 января 2013
9. Klaška, Jiří. A search for Tribonacci–Wieferich primes (неопр.) // Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis. — 2008. — Т. 16, № 1. — С. 15—20. Архивировано 7 марта 2016 года.

Литература

• Crandall, Richard E.; Pomerance, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, Springer, p. 29, ISBN 0-387-94777-9

Ссылки

• Chris Caldwell, The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime at the Prime Pages.
• Weisstein, Eric W. Wall–Sun–Sun prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Richard McIntosh, Status of the search for Wall-Sun-Sun primes (October 2003)