Пространство Бесова

Пространства Бесова ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}$ — полные квазиметрические^[англ.] пространства функций, являющиеся банаховыми при 1 ≤ p, q ≤ ∞. Названы в честь разработчика — советского математика Олега Владимировича Бесова. Эти пространства, наравне с определяемыми похожим образом пространствами Трибеля — Лизоркина, являются обобщением более простых функциональных пространств и применяются для определения свойств регулярности функций.

Определение

Существует несколько эквивалентных определений, тут приводится одно из них.

Пусть

${\displaystyle \Delta _{h}f(x)=f(x+h)-f(x)}$

и модуль непрерывности определён как

${\displaystyle \omega _{p}^{2}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\left\|\Delta _{h}^{2}f\right\|_{p}.}$

Пусть n будет неотрицательным целым числом, а s = n + α с 0 < α ≤ 1. Пространство Бесова ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}$ состоит из функций f таких, что

${\displaystyle f\in W^{n,p}(\mathbb {R} ),\qquad \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}<\infty ,}$

где ${\displaystyle {\bar {W}}^{n,p}(\mathbb {R} )}$ — пространство Соболева.

Норма

В пространстве Бесова ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}$ существует норма

${\displaystyle \left\|f\right\|_{B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}=\left(\|f\|_{W^{n,p}(\mathbb {R} )}^{q}+\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}}$

Пространства Бесова ${\displaystyle B_{2,2}^{s}(\mathbb {R} )}$ совпадают с более обычными пространствами Соболева ${\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} )}$.

Если ${\displaystyle p=q}$ и ${\displaystyle s}$ — не целое число, то ${\displaystyle B_{p,p}^{s}(\mathbb {R} )={\bar {W}}^{s,p}(\mathbb {R} )}$, где ${\displaystyle {\bar {W}}^{s,p}(\mathbb {R} )}$ — пространство Соболева.

Теорема вложения

Пусть ${\displaystyle 1<p\leqslant q<\infty }$, ${\displaystyle -\infty <t\leqslant s<\infty }$, ${\displaystyle r\in [1,\infty ]}$.

Если выполнено равенство ${\displaystyle s-n/p=t-n/q,}$ то имеет место непрерывное вложение

${\displaystyle B_{p,r}^{s}(\mathbb {R} ^{n})\subset B_{q,r}^{t}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Если ${\displaystyle s=n/p+t}$, ${\displaystyle t>0}$ и выполнено хотя бы одно из двух условий: ${\displaystyle r=1}$ или ${\displaystyle t}$ не целое число, — то верно вложение

${\displaystyle B_{p,r}^{s}(\mathbb {R} ^{n})\subset C^{t}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Замечание: при ${\displaystyle s<0,\ q\neq 1}$ пространство ${\displaystyle B_{p,r}^{s}(\mathbb {R} ^{n})}$ можно понимать как пространство, сопряженное к ${\displaystyle B_{p',r'}^{s'}(\mathbb {R} ^{n})}$, где ${\displaystyle s'=-s,\ 1/p+1/p'=1,\ 1/r+1/r'=1.}$

Интерполяция пространств Бесова

Пусть ${\displaystyle s_{0},s_{1}\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle s_{0}\neq s_{1},\ p\in (1,\infty )}$, ${\displaystyle q_{1},q_{2},q\in [1,\infty ],\ \theta \in (0,1)}$.

Тогда для интерполяционных пространств верно следующее равенство ${\displaystyle \left(B_{p,q_{1}}^{s_{0}}(\mathbb {R} ^{n}),B_{p,q_{2}}^{s_{1}}(\mathbb {R} ^{n})\right)_{\theta ,q}=B_{p,q}^{(1-\theta )s_{0}+\theta s_{1}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Литература

• О.В. Бесов, “О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения”, Докл. АН СССР, 126:6 (1959), 1163–1165
• Triebel, H. "Theory of Function Spaces II".  (англ.)
• Трибель, Х. "Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы", 1980.
• DeVore, R. and Lorentz, G. "Constructive Approximation", 1993.  (англ.)
• DeVore, R., Kyriazis, G. and Wang, P. "Multiscale characterizations of Besov spaces on bounded domains", Journal of Approximation Theory 93, 273-292 (1998).  (англ.)

Ссылки

• 9.2 Пространства Бесова / Д. Пикар, "Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева), ISBN 978-1-4612-2222-4, 1998