Псевдотензор

Псевдотензор (в частном случае — псевдовектор, псевдоскаляр) — тензорная (а в частности и векторная или скалярная) величина, получающая дополнительный множитель (-1) по сравнению с истинными тензорами соответствующего ранга (истинными векторами, истинными скалярами) в случае преобразований координат с отрицательным детерминантом матрицы преобразования^[1], то есть при преобразовании, меняющем ориентацию базиса. В остальном же псевдотензор (псевдовектор, псевдоскаляр) преобразуется как истинный тензор (вектор, скаляр), а при положительном детерминанте матрицы преобразования координат^[2] — в точности как истинный тензор (вектор, скаляр).

С математической, свободной от координат точки зрения, псевдотензор на гладком многообразии есть тензор с коэффициентами в старшей внешней степени кокасательного расслоения. Так, псевдоскаляр есть просто сечение этого расслоения, иными словами, форма старшей степени или плотность. Таким образом, тензор типа ${\displaystyle (r,s)}$ на ${\displaystyle n}$-мерном многообразии является тензором типа ${\displaystyle (r,s+n)}$, кососимметричным по последним ${\displaystyle n}$ входам.

Другое значение термину псевдотензор придавал, например, Эйнштейн, называя так нетензорную величину, которая дает тензор после интегрирования по 4-мерному объёму. Такое употребление также общепринято, по крайней мере по отношению к тем конкретным объектам, к которым их применял Эйнштейн.

Ссылки

• Д. Мэтьюз, Р. Уокер, «Математические методы физики», 1972 г.
• М. Г. Иванов Введение в тензоры в теории поля

Примечания

1. Например при зеркальном отражении координат.
2. Например, при повороте базиса как целого или при изменении длины базисных векторов (с положительным масштабным коэффициентом).