Равновесие дрожащей руки

Равновесие дрожащей руки
Концепция решения в теории игр
Связанные множества решений
Надмножества	Равновесие Нэша
Подмножества	Собственное равновесие
Факты
Авторство	Рейнхард Зельтен

Равновесие дрожащей руки (англ. trembling hand perfect equilibrium) — принцип оптимальности в некооперативных играх, представляющий собой равновесие Нэша, обладающее дополнительным свойством устойчивости к достаточно малым отклонениям игроков от равновесных стратегий. Сформулировано Р. Зельтеном в работе 1975 года^[1].

Формальное определение

Пусть задана игра в нормальной форме ${\displaystyle \Gamma =<I,\{X_{i}\}_{i\in I},\{H_{i}\}_{i\in I}>}$. Набор смешанных стратегий игроков q называется равновесием дрожащей руки, если существует такая последовательность вполне смешанных стратегий {p_ε} → q, что стратегия q_i является наилучшим ответом игрока i на стратегии остальных игроков из набора p_ε.

Как и равновесие Нэша, равновесие дрожащей руки существует в смешанном расширении в любой некооперативной игре с конечными множествами стратегий игроков.

Пример

Приведенная в таблице игра двух лиц отображенная в нормальной форме имеет два равновесия Нэша: (Верх, Лево) and (Низ, Право). Однако, только (В, Л) является равновесием дрожащей руки.

	Лево	Право
Верх	1, 1	2, 0
Низ	0, 2	2, 2

Соотношение равновесных концепций решения. Стрелками обозначено направление от рафинирований к менее требовательным концепциям

Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию ${\displaystyle (1-\epsilon ,\epsilon )}$, для некоторого ${\displaystyle 0<\epsilon <1}$. Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он играет Лево, составит:

${\displaystyle 1(1-\epsilon )+2\epsilon =1+\epsilon }$.

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при выборе стратегии Право составит:

${\displaystyle 0(1-\epsilon )+2\epsilon =2\epsilon }$.

Для достаточно малых значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя стратегию Право с минимальным весом. Аналогично, игрок 1 должен использовать с минимальным весом стратегию Низ, если игрок 2 использует смешанную стратегию ${\displaystyle (1-\epsilon ,\epsilon )}$. Следовательно, (В, Л) является равновесием дрожащей руки.

Аналогичные рассуждения не выполняются для профиля стратегий (Н, П). Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию ${\displaystyle (\epsilon ,1-\epsilon )}$. Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он использует Л, составит:

${\displaystyle 1\epsilon +2(1-\epsilon )=2-\epsilon }$.

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при использовании стратегии П:

${\displaystyle 0(\epsilon )+2(1-\epsilon )=2-2\epsilon }$.

В этом случае для любых положительных значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя П с минимальной частотой. Следовательно, (Н, П) не является равновесием дрожащей руки, так как при небольшой вероятности ошибок игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, отклоняясь от данной стратегии.

Ссылки

1. Selten, R. A reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games (англ.) // International Journal of Game Theory : journal. — 1975. — Vol. 4. — P. 25—55.

Литература

• Зелтен, Р., Харшаньи, Д. Общая теория выбора равновесия в играх. — СПб.: Экономическая школа, 2001.
• Печерский, С. Л., Беляева, А. А. Теория игр для экономистов. Вводный курс. (Учебное пособие) — СПб.: Изд-во Европейского университета, 2001.
• Selten, R. Evolutionary stability in extensive two-person games // Math. Soc. Sci. — 1983. — Vol. 5. — P. 269—363.
• Selten, R. Evolutionary stability in extensive two-person games — correction and further development // Math. Soc. Sci. — 1988. — Vol. 16. — P. 223—266.