Сателлитный узел

Удвоение Уайтхеда восьмёрки — пример сателлитного узла.

Другой пример сателлитного узла для связной суммы вольмёрки и трилистника.

Сателлитный узел — конструкция, позволяющая построить новый узел из двух узлов с определёнными дополнительными структурами. Эта конструкция включает связную сумму узлов а также удвоение Уайтхеда как частные случаи.

Построение

Сателлитный узел ${\displaystyle K}$ можно описать следующим образом: начните с нетривиального узла ${\displaystyle K'}$, лежащего внутри незаузленного полнотория ${\displaystyle V}$. «Нетривиальный» означает, что ${\displaystyle K'}$ не может лежать в шаре, вложенном в ${\displaystyle V}$, и не изотопен центральной кривой полнотория. Затем завязать полноторие в нетривиальный узел. То есть применить нетривиальное вложение ${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {S} ^{3}}$, такое, что и ${\displaystyle K=f(K')}$. При этом образ центральной кривой полнотория ${\displaystyle V}$ называется компаньёном ${\displaystyle K}$.

Обычно дополнительно предполагают, что вложение ${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {S} ^{3}}$ раскрученно, то есть ${\displaystyle f}$ не меняют индекс зацепления двух окружностей в ${\displaystyle V}$.

История

В 1949 году Хорст Шуберт^[англ.] доказал^[1], что каждый ориентированный узел в ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ разлагается в связную сумму узлов и это разложение единственно с точностью до перестановки. Вскоре после этого, он понял, что может дать новое доказательство этой теоремы анализируя несжимаемые торы, в дополнении к связной сумме. Это привело его к исследованию общих несжимаемых торов в дополнении узла, и к определению сателлитного узла^[2]

См. также

• Гиперболический узел
• Торический узел

Примечания

1. Schubert, H. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten. S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (1949), 57-104.
2. Schubert, H. Knoten und Vollringe. Acta Math. 90 (1953), 131—286.