Симметрическое пространство — риманово многообразие , группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.
Начало изучению симметрических пространств было положено Эли Картаном .
В частности им была получена классификация в 1926 году.
Пусть
M
{\displaystyle M}
— связное Риманово многообразие и
p
{\displaystyle p}
—точка в
M
{\displaystyle M}
.
Отображение
s
p
:
M
→
M
{\displaystyle s_{p}\colon M\to M}
называется геодезической симметрией с центром в точке
p
{\displaystyle p}
, если
s
p
∘
exp
p
=
−
exp
p
.
{\displaystyle s_{p}\circ \exp _{p}=-\exp _{p}.}
Отображение
s
p
:
U
→
U
{\displaystyle s_{p}\colon U\to U}
, определённое на
ε
{\displaystyle \varepsilon }
-окрестности
U
{\displaystyle U}
точки
p
{\displaystyle p}
, называется локальной геодезической симметрией с центром в точке
p
{\displaystyle p}
, если
s
p
∘
exp
p
(
v
)
=
−
exp
p
(
v
)
{\displaystyle s_{p}\circ \exp _{p}(v)=-\exp _{p}(v)}
при
|
v
|
<
ε
{\displaystyle |v|<\varepsilon }
.
Риманово многообразие
M
{\displaystyle M}
называется симметрическим , если центральная симметрия определена для каждой точки и при этом является изометрией
M
{\displaystyle M}
.
Если то же условие выполняется для локальной геодезической симметрии, то
M
{\displaystyle M}
называется локально симметрическим пространством .
Односвязное симметрическое пространство считается неприводимым , если оно не изометрично произведению двух или более римановых симметрических пространств.
Неприводимое симметрическое пространство называется пространством компактного типа , если оно имеет неотрицательную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну .
Неприводимое симметрическое пространство называется пространством некомпактного типа , если оно имеет неположительную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну .
Рангом симметрического пространства называется максимальная размерность подпространства касательного пространства в некоторой (а значит — в любой) точке, на котором кривизна равна тождественно нулю.
Риманово многообразие является локально симметрическим тогда и только тогда, когда его тензор кривизны параллелен .
Любое односвязное , полное локально симметрическое пространство является симметрическим.
Группа изометрий симметрического пространства действует на нём транзитивно.
В частности, любое симметрическое пространство является однородным пространством
G
/
K
{\displaystyle G/K}
, где
G
{\displaystyle G}
— группа Ли и
K
{\displaystyle K}
— её подгруппа.
Любое односвязное симметрическое пространство изометрично произведению неприводимых.
Ранг симметрического пространства всегда не меньше 1.
Если ранг равен 1, то секционная кривизна положительна или отрицательна во всех секционных направлениях, и пространство является неприводимым.
Пространства евклидова типа имеют ранг, равный их размерности, и изометричны евклидову пространству этой размерности.
Любое симметрическое пространство является однородным
G
/
K
{\displaystyle G/K}
, ниже дана классификация через
G
{\displaystyle G}
и
K
{\displaystyle K}
, обозначения прострнаств те же, что у Картана.
Обозначение
G
K
Размерность
Ранг
Геометрическое описание
AI
S
U
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {SU} (n)}
S
O
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {SO} (n)}
(
n
−
1
)
(
n
+
2
)
/
2
{\displaystyle (n-1)(n+2)/2}
n − 1
Пространство всех вещественных структур на
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
сохраняющих комплексный определитель
AII
S
U
(
2
n
)
{\displaystyle \mathrm {SU} (2n)}
S
p
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}
(
n
−
1
)
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle (n-1)(2n+1)}
n − 1
Пространство кватернионных структур на
C
2
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{2n}}
с фиксированной Эрмитовой метрикой
AIII
S
U
(
p
+
q
)
{\displaystyle \mathrm {SU} (p+q)}
S
(
U
(
p
)
×
U
(
q
)
)
{\displaystyle \mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (q))}
2
p
q
{\displaystyle 2pq}
min(p ,q )
Грассманиан комплексных p -мерных подпрастранств в
C
p
+
q
{\displaystyle \mathbb {C} ^{p+q}}
BDI
S
O
(
p
+
q
)
{\displaystyle \mathrm {SO} (p+q)}
S
O
(
p
)
×
S
O
(
q
)
{\displaystyle \mathrm {SO} (p)\times \mathrm {SO} (q)}
p
q
{\displaystyle pq}
min(p ,q )
Грассманиан ориентированных p -мерных
R
p
+
q
{\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}
DIII
S
O
(
2
n
)
{\displaystyle \mathrm {SO} (2n)}
U
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {U} (n)}
n
(
n
−
1
)
{\displaystyle n(n-1)}
[n /2]
Пространство ортогональных комплексных структур на
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
CI
S
p
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}
U
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {U} (n)}
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle n(n+1)}
n
Пространство комплексных структур на
H
n
{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}
сохраняющих скалярное произведение
CII
S
p
(
p
+
q
)
{\displaystyle \mathrm {Sp} (p+q)}
S
p
(
p
)
×
S
p
(
q
)
{\displaystyle \mathrm {Sp} (p)\times \mathrm {Sp} (q)}
4
p
q
{\displaystyle 4pq}
min(p ,q )
Грассманиан кватернионных p -мерных подпрастранств в
H
p
+
q
{\displaystyle \mathbb {H} ^{p+q}}
EI
E
6
{\displaystyle E_{6}}
S
p
(
4
)
/
{
±
I
}
{\displaystyle \mathrm {Sp} (4)/\{\pm I\}}
42
6
EII
E
6
{\displaystyle E_{6}}
S
U
(
6
)
⋅
S
U
(
2
)
{\displaystyle \mathrm {SU} (6)\cdot \mathrm {SU} (2)}
40
4
Пространство симметрических подпространств в
(
C
⊗
O
)
P
2
{\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}
исометричных
(
C
⊗
H
)
P
2
{\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {H} )P^{2}}
EIII
E
6
{\displaystyle E_{6}}
S
O
(
10
)
⋅
S
O
(
2
)
{\displaystyle \mathrm {SO} (10)\cdot \mathrm {SO} (2)}
32
2
Комплексифицированная проективная плоскость Келли
(
C
⊗
O
)
P
2
{\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}
EIV
E
6
{\displaystyle E_{6}}
F
4
{\displaystyle F_{4}}
26
2
Пространство симметрических подпространств в
(
C
⊗
O
)
P
2
{\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}
изометричных
O
P
2
{\displaystyle \mathbb {OP} ^{2}}
EV
E
7
{\displaystyle E_{7}}
S
U
(
8
)
/
{
±
I
}
{\displaystyle \mathrm {SU} (8)/\{\pm I\}}
70
7
EVI
E
7
{\displaystyle E_{7}}
S
O
(
12
)
⋅
S
U
(
2
)
{\displaystyle \mathrm {SO} (12)\cdot \mathrm {SU} (2)}
64
4
EVII
E
7
{\displaystyle E_{7}}
E
6
⋅
S
O
(
2
)
{\displaystyle E_{6}\cdot \mathrm {SO} (2)}
54
3
Пространство симметрических подпространств в
(
H
⊗
O
)
P
2
{\displaystyle (\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}
изоморфных
(
C
⊗
O
)
P
2
{\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}
EVIII
E
8
{\displaystyle E_{8}}
S
p
i
n
(
16
)
/
{
±
v
o
l
}
{\displaystyle \mathrm {Spin} (16)/\{\pm vol\}}
128
8
EIX
E
8
{\displaystyle E_{8}}
E
7
⋅
S
U
(
2
)
{\displaystyle E_{7}\cdot \mathrm {SU} (2)}
112
4
Пространство симметрических подпространств в
(
O
⊗
O
)
P
2
{\displaystyle (\mathbb {O} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}
изоморфных
(
H
⊗
O
)
P
2
{\displaystyle (\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}
FI
F
4
{\displaystyle F_{4}}
S
p
(
3
)
⋅
S
U
(
2
)
{\displaystyle \mathrm {Sp} (3)\cdot \mathrm {SU} (2)}
28
4
Пространство симметрических подпространств в
O
P
2
{\displaystyle \mathbb {O} P^{2}}
изоморфных
H
P
2
{\displaystyle \mathbb {H} P^{2}}
FII
F
4
{\displaystyle F_{4}}
S
p
i
n
(
9
)
{\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}
16
1
плоскость Кэли
O
P
2
{\displaystyle \mathbb {O} P^{2}}
G
G
2
{\displaystyle G_{2}}
S
O
(
4
)
{\displaystyle \mathrm {SO} (4)}
8
2
Пространство подалгебр алгебры Кэли
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
изоморфные алгебре Кватернионов
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
Более общее определение даётся на языке групп Ли . Обобщённое симметрическое пространство —это регулярное накрытие однородного пространства
G
/
K
{\displaystyle G/K}
, где
G
{\displaystyle G}
группа Ли и
K
=
{
g
∈
G
:
σ
(
g
)
=
g
}
{\displaystyle K=\{g\in G:\sigma (g)=g\}}
для некоторой инволюции
σ
:
G
→
G
{\displaystyle \sigma \colon G\to G}
.
Любое симметрическое пространство является обобщенным симметрическим пространством. При этом инволюция
σ
:
G
→
G
{\displaystyle \sigma \colon G\to G}
группы изометрий
G
{\displaystyle G}
пространства определяется как
σ
:
h
↦
s
p
∘
h
∘
s
p
{\displaystyle \sigma \colon h\mapsto s_{p}\circ h\circ s_{p}}
Обратное верно, если
K
{\displaystyle K}
компактна.
Эти обобщенные симметрические пространства включают псевдо-Римановы симметрические пространств , в которых риманова метрика заменяется псевдо-Римановой метрики . В частности
Слабо симметрические пространства [ править | править код ]
В 1950-х годах Атле Сельберг дал определение слабо симметрического пространства .
Они определяются как римановы многообразия с транзитивной группой изометрий такой, что для каждой точки
p
{\displaystyle p}
в
M
{\displaystyle M}
и касательного вектора
v
{\displaystyle v}
в
p
{\displaystyle p}
, есть изометрия
i
{\displaystyle i}
, зависящая от
v
{\displaystyle v}
в
p
{\displaystyle p}
, такая, что
i
{\displaystyle i}
фиксирует
p
{\displaystyle p}
;
d
i
(
v
)
=
−
v
{\displaystyle di(v)=-v}
.
Если
i
{\displaystyle i}
можно выбрать независимо от
v
{\displaystyle v}
, то пространство является симметрическим.
Классификация слабо симметрических пространств дана Ахиезером и Винбергом и основана на классификации периодических автоморфизмов комплексных полупростых алгебр Ли [1] .
Компактное однородное пространство
G
/
K
{\displaystyle G/K}
называется сферическим, если любое неприводимое представление группы
G
{\displaystyle G}
имеет не более одного
K
−
{\displaystyle K-}
инвариантного вектора.
Симметрические пространства являются сферическими.[2] [3] [4] [5]
Эрмитовы симметрические пространствах [ править | править код ]
Симметрическое пространство, которое дополнительно снабжено параллельной комплексной структурой, согласованной с римановой метрикой, называется Эрмитовым симметрическим пространством.
↑ Akhiezer, D. N.; Vinberg, E. B. (1999), "Weakly symmetric spaces and spherical varieties", Transf. Groups , 4 : 3–24, doi :10.1007/BF01236659
↑ M. Krämer, Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math. 38(1979), no. 2, 129–153.
↑ И. В. Микитюк, Об интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем с однородными конфигурационными пространствами, Матем. сб. 129(171) (1986), ном. 4, 514–534. Engl. transl.: I. V. Mikityuk, On the integrability of invariant Hamiltonian systems with homogeneous configuration spaces, Math. USSR Sbornik 57(1987), no. 2, 527–546.
↑ M. Brion, Classification des espaces homogénes sphériques, Compositio Math. 63(1987), no. 2, 189–208
↑ F. Knop, B. Krötz, T. Pecher, H. Schlichtkrull. Classification of reductive real spherical pairs II. Архивная копия от 16 декабря 2019 на Wayback Machine The semisimple case. Transformation Groups 24, 467–510 (2019)
Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. — ИЛ, 1949.
Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — Мир, 1964.
Лоос О. Симметрические пространства. — Наука, 1985.