Степень отображения

Степень отображениягомотопический инвариант непрерывного отображения между компактными многообразиями равной размерности.

В простейшем случае, для отображения из окружности в окружность степень отображения можно определить как число оборотов точки когда пробегает окружность.

Определения

[править | править код]

Гомологическое

[править | править код]

Пусть X и Y замкнутые связные ориентируемые многообразия равной размерности. Тогда степень непрерывного отображения определяется как целое число такое, что

где обозначает индуцированный гомоморфизм между кольцами гомологий и обозначает фундаментальный класс многообразия .

Через подсчёт ориентаций

[править | править код]

Рассмотрим гладкое отображение -мерных компактных связных ориентированных гладких многообразий .

Точка из называется регулярной, если у неё конечное число прообразов и в каждом из её прообразов отображение не вырождено (то есть невырожден дифференциал отображения в каждом из прообразов). Согласно лемме Сарда, почти все точки являются регулярными значениями .

Припишем каждому прообразу регулярной точки число , если отображение в этой точке сохраняет ориентацию и в противном случае. Тогда сумма чисел всех прообразов регулярной точки называется степенью отображения.

Применив лемму Сарда можно доказать, что степень отображения не зависит от выбора регулярной точки. Следовательно, данное определение корректно.