Субриманово многообразие

Субри́маново многообра́зие — математическое понятие, обобщающее риманово многообразие. Суть обобщения состоит в том, что скалярное произведение задается не на касательных пространствах целиком, а только на некоторых их подпространствах (как правило, фиксированной размерности).

Тем самым, в субримановом многообразии понятие длины определено не для всех кривых, а только для так называемых горизонтальных кривых (тех, которые в каждой своей точке касаются соответствующего подпространства). Возникающая таким образом внутренняя метрика субриманова многообразия называется метрикой Карно-Каратеодори.

Определение

• Пусть ${\displaystyle M}$ — гладкое многообразие размерности ${\displaystyle m}$, на котором задано гладкое распределение ${\displaystyle \Delta }$ размерности ${\displaystyle n<m}$, т.е. в каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ задано линейное подпространство ${\displaystyle \Delta _{x}}$ касательного пространства ${\displaystyle T_{x}M}$ которое гладко зависит от точки ${\displaystyle x}$. Подпространства ${\displaystyle \Delta _{x}}$ называются горизонтальными. Векторное поле и кривая на ${\displaystyle M}$ называются горизонтальными, если они касаются распределения ${\displaystyle \Delta }$ в каждой точке (в случае кривой имеются в виду все точки, в которых кривая имеет касательную).
• Распределение ${\displaystyle \Delta }$ называется вполне неинтегрируемым или вполне неголономным, если в каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ любой вектор касательного пространства ${\displaystyle T_{x}M}$ представим в виде линейной комбинации векторов вида

${\displaystyle A,\ [A,B],\ [A,[B,C]],\ [A,[B,[C,D]]],\ \dots }$

с некоторыми ${\displaystyle A,B,C,D,\dots \in \Delta _{x}}$. Здесь ${\displaystyle [A,B]}$ означает скобку Ли векторных полей.

• Многообразие ${\displaystyle M}$ с определённым на нём вполне неинтегрируемым распределением ${\displaystyle \Delta }$ называется субримановым, если каждое горизонтальное подпространство ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$ снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, субримановым многообразием называется тройка ${\displaystyle (M,\Delta ,g)}$.

Связанные понятия

Теорема Рашевского — Чоу

Теорема Рашевского — Чоу утверждает, что для любых двух точек линейно связного субриманова многообразия найдется кусочно-гладкая горизонтальная кривая, соединяющая эти точки. Эта теорема была доказана независимо советским математиком П. К. Рашевским (1938)^[1] и китайским математиком Чоу (Wei-Liang Chow, 1939)^[2].

В этой теореме условие гладкости вполне неголономного распределения может быть ослаблено и заменено условием лишпицевости^[3].

Метрика Карно — Каратеодори

Каждое субриманово многообразие обладает метрикой, определённой по аналогии с римановым многообразием формулой

${\displaystyle d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt,}$

где инфимум берётся по всевозможным кусочно-гладким горизонтальным кривым, соединияющим точки x и y, то есть ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$, ${\displaystyle \gamma (0)=x}$, ${\displaystyle \gamma (1)=y}$. Определённая таким образом метрика ${\displaystyle d(x,y)}$ называется метрикой Карно-Каратеодори.

Примечания

1. Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией. Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат., 3:2 (1938), 83—94
2. Chow W. L. Uber Systeme von linearen partiallen Differentialgleichungen erster Ordnung. Math. Ann., 117 (1939), 98—105
3. К. В. Сторожук. Теорема Каратеодори-Рашевского-Чоу для липшицевых неголономных распределений. Сиб. матем. журн., 54:6 (2013), 1380—1387

Литература

• Bellaïche, André; Risler, Jean-Jacques, eds. (1996), Sub-Riemannian geometry, Progress in Mathematics, vol. 144, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3, MR 1421821
• Gromov, Mikhael (1996), "Carnot-Carathéodory spaces seen from within", in Bellaïche, André; Risler., Jean-Jacques (eds.), Sub-Riemannian geometry (PDF), Progr. Math., vol. 144, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, pp. 79—323, ISBN 3-7643-5476-3, MR 1421823 Архивная копия от 27 сентября 2011 на Wayback Machine
• Le Donne, Enrico, Lecture notes on sub-Riemannian geometry (PDF)
• Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.
• Agrachev, Andrei A.; Barilari, Davide; Boscain, Ugo, Introduction to Riemannian and sub-Riemannian geometry
• R.S. Strichartz, Sub-Riemannian geometry, Journal of Differential Geometry 24 (1986), 221-263.