Суммы Рамануджана

Суммы Рамануджана — это тригонометрические суммы, зависящие от двух целочисленных параметров ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle n}$, вида:

${\displaystyle c_{k}(n)=\sum _{h}\cos \left({\frac {2\pi nh}{k}}\right)=\sum _{h}\exp \left({\frac {2\pi nhi}{k}}\right),}$

где ${\displaystyle h<k,\;h\in \mathbb {Z} _{0}}$ и ${\displaystyle (h,\;k)=1}$.

Основным свойством сумм Рамануджана является их мультипликативность относительно индекса ${\displaystyle k}$, то есть

${\displaystyle c_{kk'}(n)=c_{k}(n)c_{k'}(n),}$

если ${\displaystyle (k,\;k')=1}$.

Суммы ${\displaystyle c_{k}(n)}$ можно представить через функцию Мёбиуса ${\displaystyle \mu }$:

${\displaystyle c_{k}(n)=\sum _{d\setminus (k,\;n)}\mu \left({\frac {k}{d}}\right)d.}$

Суммы Рамануджана ограничены при ограниченных либо ${\displaystyle k}$, либо ${\displaystyle n}$. Так, например, ${\displaystyle c_{k}(1)=1}$.

Применение сумм Рамануджана

Многие мультипликативные функции от натурального аргумента могут быть разложены в ряды по ${\displaystyle c_{k}(n)}$. Верно и обратное.

Основные свойства сумм позволяют вычислять суммы вида:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{n^{s}}}f(n),\quad \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}f(k),}$

где ${\displaystyle f(n)}$ — мультипликативная функция, ${\displaystyle q}$ — целое число, ${\displaystyle s}$ — в общем случае, комплексное.

В простейшем случае, можно получить

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}={\frac {\sigma _{1-s}(n)}{\zeta (s)}},}$

где ${\displaystyle \zeta (s)}$ — дзета-функция Римана, ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$ — сумма ${\displaystyle k}$-х степеней делителей числа ${\displaystyle n}$.

Такие суммы тесно связаны с особыми рядами некоторых аддитивных проблем теории чисел, например, представление натуральных чисел в виде чётного числа квадратов. В работе [1] приведены многие формулы, содержащие данные суммы.

Литература

1. Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1918. — v. 22. — p. 259—276.
2. Hardy G. H. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20. — p. 263—271.
3. Ramanujan S. Collected papers. — Cambridge, 1927. — p. 137—141.
4. Volkmann В. Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Bd 271. — S. 203—213.
5. Tитчмapш, E. К. Теория дзета-функции Римана. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 407 с. — ISBN 5114800906..
6. Левин В. И. Историко-математические исследования. — т. 13. — М.: ВИНИТИ, 1960.